प्रायिकता बंटन दृश्यकारक

द्विपद बंटन (Binomial Distribution)

P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

n = प्रयासों की संख्या, p = सफलता की प्रायिकता

माध्य = np, प्रसरण = np(1-p)

प्वासों वितरण (Poisson Distribution)

P(X=k) = (e^-λ × λ^k)/k!

λ = औसत दर

माध्य = λ, प्रसरण = λ

प्रसामान्य वितरण (Normal Distribution)

घंटी वक्र, सममित

माध्य = μ, मानक विचलन = σ

68-95-99.7 नियम

प्राचल

n: परीक्षणों की संख्या

p: सफलता की प्रायिकता

λ: औसत घटना

🧠 वितरण चयन

द्विपद: निश्चित n, निश्चित p
Poisson: निश्चित λ, दुर्लभ घटनाएँ
सामान्य: सतत, सममित

🧠 माध्य-प्रसरण नियम (Mean-Variance Rules)

Binomial: μ=np, σ²=np(1-p)
Poisson: μ=λ, σ²=λ
प्रसामान्य: दिया गया μ, σ

🧠 प्वासों सन्निकटन (Poisson Approximation)

द्विपद → प्वासों जब:
n → ∞, p → 0, np = λ
JEE Advanced को यह बहुत पसंद है!

🧠 मानकीकरण

Z = (X - μ)/σ
हमेशा μ को घटाएँ, σ से भाग दें
P(X < x) = P(Z < (x-μ)/σ)

❌ गलत वितरण का उपयोग करना

द्विपद (Binomial): निश्चित n परीक्षण। प्वासों (Poisson): निश्चित समय/स्थान अंतराल। प्रसामान्य (Normal): सतत, सममित। JEE समस्या कथन में संकेत देता है।

❌ प्वासों सन्निकटन (Poisson approximation) को भूल जाना

द्विपद → Poisson जब n→∞, p→0, np=λ (नियतांक)। JEE Advanced में "Poisson का उपयोग करके सन्निकटन करें" पूछना बहुत पसंद है।

❌ माध्य और प्रसरण (variance) को भ्रमित करना

द्विपद (Binomial): μ=np, σ²=np(1-p). प्वासों (Poisson): μ=λ, σ²=λ. प्रसामान्य (Normal): दिया गया μ, σ. इन्हें आपस में मत मिलाओ।

❌ मानकीकरण त्रुटियाँ

Z = (X - μ)/σ. हमेशा माध्य (mean) घटाएं, मानक विचलन (standard deviation) से भाग दें। P(X < x) = P(Z < (x-μ)/σ)। Z-table देखें या सममिति (symmetry) का उपयोग करें।