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प्रतिलोम तिकोणतमिीय फलनोों ( inverse trigonometric functions ) क े क े वल मुख्य मानोों ( principal values ) को ध्यान में रखिे हुए , 1132tan sin 2cos5 5−− − का मान है
माना तक 22( , ) : 0, 0, 4 , 12 2 S x y x y y x y x= − और 3 8 5 8yx+ है | यति क्षेि (region ) S का क्षेिफल 2 है, िब बराबर है
माना तक k है | यति ( )2 6 0lim , sin(sin ) cosx xe kx x x →+= ++ िब k का मान है
माना तक 𝑓 :→ एक फलन ( function ) है, जो 𝑓(𝑥)={𝑥2sin(𝜋 𝑥2), यति 𝑥≠0, 0 , यति 𝑥=0, द्वारा पररभातिि है | िब तनम्नतलस्खि कर्नोों में से कौन सा सत्य है?
माना तक S उन सभी ( , ) का समुच्चय है तक 2 21sin( )(log ) sin lim 0(log (1 ))e xexxx xx →=+ है | िब तनम्नतलस्खि में से कौन सा (से) सही है ( हैं)?
तबोंिु (1,3, 2)P से, रेखा 2 4 6 1 2 1x y z− − −== क े समान्तर खीोंची गयी सरल रेखा (straight line ), िल (plane ) 1: 3 6L x y z− + = को तबोंिु Q पर प्रतिच्छ े तिि ( intersect ) करिी है | एक अन्य सरल रेखा जो तबोंिु Q से होकर जािी है और िल ( plane ) 1Lक े लोंबवि (perpendicular ) है, िल (plane ) 2: 2 4L x y z− + =− को तबोंिु R पर प्रतिच्छ े तिि करिी है | िब तनम्नतलस्खि कर्नोों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?
माना तक 1 1 1, , ,A B C xy-िल ( xy -plane ) में स्थर्ि िीन तबोंिु हैं | मान लीतजये तक रेखाए ों 11AC और 11,BC वक्र (curve ) 28yx= क े तलए क्रमश: 1A और 1B पर स्पशण रेखाए ों (tangents) हैं | यति (0,0)O= और 1( 4,0), C=− िब तनम्नतलस्खि कर्नोों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?
माना तक :f→ एक ऐसा फलन (function ) है तक सभी , xy क े तलए ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + है, और : (0, )g→ एक ऐसा फलन है तक सभी , xy क े तलए ( ) ( ) ( )g x y g x g y+= है | यति 3125f−= और 1 23g−= हैं, िब ()1 + 2 8 (0)4f g g−− का मान _______ है |
एक र्ैले (bag) में N गेंिें (balls) हैं, तजनमें से 3 गेंिें सफ े ि हैं, 6 गेंिें हरी हैं, और शेि गेंिें नीली हैं | मान लीतजये तक इसक े अलावा , गेंिें एकरूप ( identical) हैं | र्ैले में से िीन गेंिें यादृच्छया ( randomly ) एक क े बाि एक, तबना प्रतिथर्ापन (without replacement ) क े तनकाली जािी हैं | मान लीतजये तक 1,2,3,i= क े तलए, ,,iiWG और ,iB i वें तनकाल ( thi draw ) में क्रमश: सफ े ि , हरी और नीली गेंिोों क े आने की घटनाओों को िशाणिे हैं | यति प्रातयकिा (probability ) 1 2 32()5P W G BN= है और सप्रतिबोंि प्रातयकिा ( conditional probability ) 3 1 22( )9P B W G = है, िब N बराबर _____ है |
माना तक फलन (function ) :,f→ ( ) ()( ) ()2023 2023 222024 2025 2024 2025 sin 2() 33xxx x x xxfxee x x x x+ + + + =+ − + − + द्वारा पररभातिि है | िब में, ( ) 0fx= क े हलोों ( solutions ) की सोंख्या ______ है |
माना तक ˆ ˆˆ23p i j k= + + और ˆ ˆˆq i j k= − + हैं | यति क ु छ वास्ततवक सोंख्याओों (real numbers ) ,, और क े तलए, ()()()ˆ ˆˆ15 10 6 2 2i j k p q p q p q + + = + + − + है, िब का मान _______ है | खंड 3 (अधिकतम अंक : 24) • इस खोंड में छह (06) प्रश् न हैं | • प्रत्येक प्रश् न का उत्तर एक गैर-ऋणात्मक पूणाांक (NON -NEGATIVE INTEGER ) है| • प्रत्येक प्रश् न क े तलए उत्तर को िशाणने वाले सही पूणाांक को माउज़ (MOUSE) और ऑन स्क्रीन (ON- SCREEN) वचुणअल नुमेररक कीपैड (VIRTUAL NUMERIC KEYPAD) क े प्रयोग से उत्तर क े तलए तचस्िि थर्ान पर प्रतवष्ट करें | • प्रत्येक प्रश् न क े उत्तर का मूल्ाोंकन तनम्न योजना क े अनुसार होगा : पूणण अोंक : +4 यति तसर् ण सही पूणाांक (integer ) ही प्रतवष्ट तकया गया है | शून्य अोंक : 0 अन्य सभी पररस्थर्तियोों में |
तबोंिु (0, )− से परवलय (parabola) 24, x ay=− जहाों 0a है, क े तलए 1 6 ढाल ( slope ) का एक अतभलोंब (normal ) खीोंचा गया है | माना तक ,L परवलय की तनयिा ( directrix ) क े समान्तर, (0, )− से होकर जाने वाली रेखा है | मान लीतजये तक L , परवलय को िो तबन्िुओों A और B पर प्रतिच्छ े तिि ( intersect ) करिी है | माना तक ,r परवलय की नातभलोंब जीवा (latus rectum) की लोंबाई को िशाणिा है और ,s रेखाखोंड ( line segment ) AB की लोंबाई क े वगण को िशाणिा है | यति : 1:16rs= है, िब 24a का मान ______ है |
माना तक फलन 𝑓 :[1, ) ,→ 𝑓(𝑡)= {(−1)𝑛+12, यति 𝑡=2𝑛−1,𝑛∈ℕ, (2𝑛+1−𝑡) 2𝑓(2𝑛−1)+(𝑡−(2𝑛−1)) 2𝑓(2𝑛+1), यति 2n−1<t<2n+1,𝑛∈ℕ, द्वारा पररभातिि है | ()gx= ∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥 1, 𝑥∈(1,∞) से पररभातिि कीतजये | माना तक , अोंिराल (1,8] में समीकरण ( ) 0gx= क े हलोों ( solutions) की सोंख्या को िशाणिा है और 1()lim1xgx x →+=− है | िब + का मान _____ है | PARAGRAP H “I” माना तक 1,2,3,4,5,6S= है, और ,X S से S में उन सभी सोंबोंिोों ( relations ) R का समुच्चय ( set) है जो तनम्नतलस्खि िोनोों गुणिमों (properties) को सोंिुष्ट करिे हैं : i. R में ठीक (exactly ) 6 अवयव ( elements ) हैं | ii. प्रत्येक ( , )a b R क े तलए 2 ab− है | माना तक 𝑌= {𝑅∈𝑋 ∶ 𝑅 के पररसर (range ) में ठीक (exactly ) एक अवयव (element ) है } और 𝑍= {𝑅∈𝑋 ∶ 𝑅, 𝑆 से 𝑆 में एक फलन (function ) है } | माना तक ( ),nA समुच्चय A में अवयवोों की सोंख्या (number of elements) को िशाणिा है | (PARAGRAP H “I” पर आिाररत दो प्रश् न हैं, नीचे धदया गया प्रश् न उनमें से एक है )
यति 6 ()mn X C= है, िब m का मान __________ है | PARAGRAP H “I” माना तक 1,2,3,4,5,6S= है, और ,X S से S में उन सभी सोंबोंिोों ( relations ) R का समुच्चय ( set) है जो तनम्नतलस्खि िोनोों गुणिमों (properties) को सोंिुष्ट करिे हैं : i. R में ठीक (exactly ) 6 अवयव ( elements ) हैं | ii. प्रत्येक ( , )a b R क े तलए 2 ab− है | माना तक 𝑌= {𝑅∈𝑋 ∶ 𝑅 के पररसर (range ) में ठीक (exactly ) एक अवयव (element ) है } और 𝑍= {𝑅∈𝑋 ∶ 𝑅, 𝑆 से 𝑆 में एक फलन (function ) है } | माना तक ( ),nA समुच्चय A में अवयवोों की सोंख्या (number of elements) को िशाणिा है | (PARAGRAP H “I” पर आिाररत दो प्रश् न हैं, नीचे धदया गया प्रश् न उनमें से एक है ) खंड 4 (अधिकतम अंक : 12) • इस खोंड में दो (02) अनुच्छ े ि हैं | • प्रत्येक अनुच्छ े ि पर आिाररि दो (02) प्रश् न हैं | • प्रत्येक प्रश् न का उत्तर एक संख्यात्मक मान (NUMERICAL VALUE) है। • प्रत्येक प्रश् न क े तलए , उत्तर प्रतवष्ट करने क े तलए तनतिणष्ट थर्ान पर माउज़ (MOUSE) और ऑन -स्क्रीन (ON-SCREEN) वचुणअल न्यूमेररक कीपैड (VIRTUAL NUMERIC KEYPAD) का उपयोग करक े उत्तर का सही सोंख्यात्मक मान प्रतवष्ट करें। • यति सोंख्यात्मक मान में िो से अतिक िशमलव थर्ान हैं , िो मान को दो (02) िशमलव थर्ानोों िक समेंटे /शून्ांत (TRUNCATE/ROUND -OFF) करें । • प्रत्येक प्रश् न क े उत्तर का मूल्ाोंकन तनम्न योजना क े अनुसार होगा : पूणण अोंक : +3 यति तनतिणष्ट थर्ान पर क े वल सही सोंख्यात्मक मान प्रतवष्ट तकया गया है | शून्य अोंक : 0 अन्य सभी पररस्थर्तियोों में |
यति ( ) ( )n Y n Z+ का मान 2k है, िब ||k _____________ है | PARAGRAP H “II” माना तक : 0, [0,1]2f→ वह फलन ( function ) है जो 2( ) sinf x x= द्वारा पररभातिि है, और माना तक : 0, [0, )2g→ वह फलन है जो 2()2xg x x=− द्वारा पररभातिि है | (PARAGRAP H “II” पर आिाररत दो प्रश् न हैं, नीचे धदया गया प्रश् न उनमें से एक है )
22 002 ( ) ( ) ( )f x g x dx g x dx − का मान __________ है | PARAGRAP H “II” माना तक : 0, [0,1]2f→ वह फलन ( function ) है जो 2( ) sinf x x= द्वारा पररभातिि है, और माना तक : 0, [0, )2g→ वह फलन है जो 2()2xg x x=− द्वारा पररभातिि है | (PARAGRAP H “II” पर आिाररत दो प्रश् न हैं, नीचे धदया गया प्रश् न उनमें से एक है )
2 3 016( ) ( )f x g x dx का मान ____________ है |
𝑥-𝑦 समतल में स्थित 𝐿 ऊ ं चाई के एक समबाहु त्रिभुजाकार क्षेि के अन्दर , +𝑧-त्रिशा में एकसमान चुम्बकीय क्षेि 𝐵⃗ है| इसी 𝑥-𝑦 समतल पर उसी 𝐿 ऊ ं चाई के एक समबाहु त्रिभुजाकार चालक लूप PQR को रखा है त्रजसका P शीर्ष, त्रचि में त्रिखाए गये अत्रभत्रि न्यास के अनुसार , 𝑥 = 0 पर है| समय 𝑡 =0 पर, लूप, +𝑥-त्रिशा में एकसमान िेग 𝑣 से चुम्बकीय क्षेि में प्रिेश करना प्रारम्भ करता है| इस गत्रत के िौरान लूप का तल और अत्रभत्रि न्यास (orientation ) अपररित्रतषत रहते हैं| त्रनम्न में से कौन सा ग्राफ, 𝑥 = 0 से प्रारंभ करते हुए, लूप में उत्पन्न हुए त्रिि ् युत िाहक बल (𝐸) का ि ू री (𝑥) के साि फलन , सबसे उत्रचत रूप से िशाषता है?
द्रव्यमान 𝑚 का एक कर् द्रव्यमान 𝑀(≫𝑚) क े एक त्रपंड क े गुरुत्वाकर्षर् क्षेि क े प्रभाि में है| यह कर् 𝑟0 त्रिज्या की एक िृत्ताकार कक्षा में 𝑀 क े पररतः आितषकाल 𝑇0 से पररक्रमर् कर रहा है| अब कर् पर एक बल अत्रतररक्त क े न्द्रीय , त्रजसक े संगत स्थित्रतज ऊजाष 𝑉c(𝑟)=𝑚𝛼/𝑟3 है, लगाया जाता है, जहााँ α एक िनात्मक त्रनयतांक है तिा 𝑟 उसी कक्षा क े क ें द्र से ि ू री है| यत्रि कर् अब उसी त्रिज्या 𝑟0 की कक्षा में 𝑀 तिा 𝑉c(𝑟) क े संयुक्त त्रिभि क े अंतगषत एक नए आितषकाल 𝑇1 से पररक्रमर् करता है तो, (𝑇12−𝑇02)/𝑇12 का मान है, [𝐺 गुरुत्वीय नियत ांक है|]
परमार्ु क्रमांक (atomic number) 𝑍 = 46 क े िातु क े एक लक्ष्य (target) पर उच्च ऊजाष का एक इलेक्ट् र ान पुंज प्रहार करता है| इस लक्ष्य से उत्पन्न X-त्रकरर्ों का त्रिश्लेर्र् त्रकया जा ता है| इससे 𝐾𝛼-रेखा तिा अंतक (cut-off) तरंगिैर्घ्यों का अनुपात 𝑟=2 पाया जाता है| िही इलेक्ट् र ान पुंज यत्रि 𝑍 = 41 की एक ि ू सरी िातु क े लक्ष्य पर प्रहार करे, तो 𝑟 का मान होगा
त्रिि ् युतरो िी परत चढ़े एक िातु क े पतले एिं कड़े तार को मोड़कर एक िृत्ताकार िलय बनाया जाता है, त्रजसक े िो त्रसरे िल य क े ही एक त्रबंिु से उसकी स्पशष रेखीय त्रिशा में सीिे त्रनकले हैं| इस िलय का द्रव्यमान 𝑚 तिा त्रिज्या 𝑟 है तिा यह एक ऊर्ध्ाषिर त्रिशा में ऊपर की ओर लगे एकसमान चुम्बकीय क्षेि 𝐵0 में, त्रचिानुसार, है| आरम्भ में यह तार िो दृढ चालक स्तंभों , P और Q, पर गुरुत्वी य त्वरर् g के कारर् ऊर्ध्ाषिर लटक रहा है| जब िलय में िारा 𝐼 प्रिात्रहत की जाती है तो िलय, रेखा PQ के पररतः , त्रनम्नप्रकार त्रिए कोर् 𝜃 से घूम जाएगा
एक सूक्ष्म त्रिि ् युत त्रिध्रुि 𝑝 0 त्रजसका अपने क ें द्र क े पररतः जड़त्व आघूर्ष 𝐼 है, को त्रिज्या 𝑅 की एक गोलीय सतह क े क ें द्र से 𝑟 ि ू री पर रखा गया है| इस गोलीय सतह पर एकसमान क्षेिीय आिेश घनत्व है| इस त्रिध्रुि को आरम्भ में त्रचिानुसार एक सूक्ष्म कोर् 𝜃 पर रखा है| यह त्रिध्रुि ि ू री 𝑟 पर स्थिर रहते हुए अपने क ें द्र क े पररतः घूर्षन क े त्रलए स्वतंि है | यत्रि इसे स्थिर अिथिा से छोड़ा जाता है तो त्रनम्न में से कौन सा/से किन सही है (हैं)? [𝜀0 मुक्त आकाश की त्रिि ् युतशीलता है |]
टेबल टेत्रनस की एक गेंि की त्रिज्या (3/2)×10−2 m तिा द्रव्यमान (22/7)×10−3 kg है| इसे एक तरर् ताल (swimming pool) में िीरे -िीरे पानी की सतह से गहरा ई 𝑑 = 0.7 m तक ले जाकर स्थिर अिथिा से छोड़ते हैं | यह गेंि , त्रबना पानी से भीगे हुए, पानी की सतह से चाल 𝑣 से बाहर आती है और ऊ ं चाई 𝐻 तक जाती है | त्रनम्न में से कौन सा/से त्रिकल्प सही है(हैं)? [त्रिया है : 𝜋=22/7, 𝑔=10 ms−2, पानी का घनत्व =1×103 kg m−3, पानी की श्यानता (viscosity) =1×10−3 Pa-s]
द्रव्यमान संख्या 𝐴M क े एक िनात्मक एकल आयत्रनत (singly ionized) परमार्ु को त्रिरामािथिा से, त्रिभिान्तर 192 V िारा त्वररत त्रकया जाता है त्रजसक े बाि िह एक चुम्बकीय क्षेि , 𝐵⃗ 0=0.1𝑘̂ Tesla , युक्त 𝑤 चौड़ाई क े एक आयताकार क्षेि में , त्रचिानुसार प्रिेश करता है | अंततः यह आयन एक संसूचक (detector) पर अप ने आरंत्रभक पि से नीचे िूरी 𝑥 पर टकराता है | [त्रिया है : न्यूट र ॉन/प्रोटोन का द्रव्यमान = (5/3)×10−27 kg, इलेक्ट् र ान का आिेश = 1.6× 10−19 C] त्रनम्न में से कौन सा/से त्रिकल्प सही है (हैं)?
एक शंक ु की त्रिमायें अल्पत्मांक 2 mm के एक पैमाने से मापे जाने पर उसक े आिार का व्यास तिा ऊ ाँ चाई , िोनों, 20.0 cm पाये जाते हैं| इस शंक ु का आयतन ज्ञात करने में अत्रिकतम प्रत्रतशत िुत्रट का मान _______ होगा|
क्षैत्रतज खेल क े मैिान क े एक त्रबंिु (𝑥0,𝑦0)=(0,0) से एक गेंि +𝑥-त्रिशा से 𝜃0 कोर् पर प्रारंत्रभक चाल 𝑣0 से फेंकी जाती है| गेंि को एक पत्थर से टकराना है जो उसी क्षर् त्रबंिु (𝑥1,𝑦1)=(𝐿,0) से फ ें का जाता है | पत्थर को उत्रचत प्रारंत्रभक चाल से एिं +𝑥-त्रिशा से (180−𝜃1) क े कोंर् पर फ ें का जाता है| एक त्रनयत 𝑣0 क े त्रलए, जब (𝜃0,𝜃1)=(45°,45°), तो पत्थर 𝑇1 समय पश्चात् , तिा जब (𝜃0 ,𝜃1)=(60°,30°), तो पत्थर 𝑇2 समय पश्चात् , गेंि से टकराता है| इस िशा में (𝑇1/𝑇2)2 ____________ है|
एक आिेश को एक बेलनाकार क्षेि क े क ें द्र त्रबंिु P पर त्रचिानुसार रखा ग या है त्रजससे बेलन क े िो छोर, त्रबंिु P पर अिष-कोर् अंतररत करते हैं | जब = 30° तो बेलन क े बेलनाकार पृष्ठ से त्रिि ् युत फ्लक्स (flux) Φ है| यत्रि = 60° तो बेलनाकार पृष्ठ से त्रिि ् युत फ्लक्स Φ/√𝑛 है, जहााँ 𝑛 का मान ______ है| खंड 3 (अधिकतम अंक : 24) इस खंड में छह (06) प्रश् न हैं | प्रत्येक प्रश् न का उत्तर एक गैर-ऋणात्मक पूणाांक (NON -NEGATIVE INTEGER ) है| प्रत्येक प्रश् न क े त्रलए उत्तर को िशाषने िाले सही पूर्ाांक को माउज़ (MOUSE) और ऑन स्क्रीन (ON- SCREEN) िचुषअल नुमेररक कीपैड (VIRTUAL NUMERIC KEYPAD) क े प्रयोग से उत्तर क े त्रलए त्रचस्ित थिान पर प्रत्रिष्ट करें | प्रत्येक प्रश् न क े उत्तर का मूल्ांकन त्रनम्न योजना क े अनुसार होगा : पूर्ष अंक :+4 यत्रि त्रसर् ष सही पूर्ाांक (integer ) ही प्रत्रिष्ट त्रकया गया है | शून्य अंक : 0 अन्य सभी पररस्थित्रतयों में |
िो समबाहु त्रिभुजाकार त्रप्रज्ों , P1 एिं P2 को एक ि ू सरे की भुजाओं क े स मानांतर , त्रनिाषत में त्रचिानु सार रखा गया है| प्रकाश की एक त्रकरर् , त्रप्रज् P1 पर आपतन कोर् 𝜃 से इस तरह से आपत्रतत होती है त्रक बाहर जाती हुयी त्रकरर् का त्रप्रज् P2 िारा अल्पतम त्रिचलन (minimum deviation) होता है| यत्रि P1 एिं P2 क े अपितषनांक , क्रमशः , √3 2 तिा √3 हैं, तो 𝜃=sin−1[√3 2sin(𝜋 𝛽)] है, जहााँ का मान _______ है|
अनंत लम्बाई का एक पतला तार, त्रजस का एकसमान रेखीय आिेश घनत्व 5 nC/m है, को 1 m त्रिज्या की एक गोलीय सतह को भेि कर, त्रचिानुसार रखा है| गोलीय सतह पर 10 nC आिेश एकसमान रूप से त्रितररत है| यत्रि आिेशों का अत्रभत्रिन्यास थिैत्रतक है, तो त्रबंिुओं P तिा R क े बीच क े त्रिभिान्तर का िोल्ट में पररमार् ______ होगा| [त्रिया है: SI इकाई में 1 4πϵ0=9×109, ln2=0.7; तार िारा छ े त्रित क्षेि नगण्य मात्रनये |]
िाब P0=105 Pa क े एक िायु कोष्ठ (air chamber) क े अन्दर त्रकसी त्रिज्या का साबुन का एक गोलाकार बुलबुला है त्रजसक े अन्दर अत्रतररक्त िाब (excess pressure) ΔP=144 Pa है | अब कोष्ठ का िाब घटाकर 8P0/27 कर त्रिया जाता है त्रजससे बुलबुले की त्रिज्या तिा अत्रतररक्त िाब बिल जाते हैं | इस प्रत्रक्रया में सभी तापमान अपररित्रतषत रहते हैं| िायु को आिशष गैस मा त्रनये तिा िोनों स्थित्रतयों में अत्रतररक्त िाब ΔP का मान कोष्ठ िाब से नगण्य मात्रनये | नए अत्रतररक्त िाब ΔP का Pa में मान _________ होगा| PARAGRAPH I त्रचिानुसार , यंग क े त्रित्रिरी प्रयोग में, A एिं B त्रिररषयां अपने स्थिर मध्यत्रबंिु क े सापेक्ष िोलन कर रही हैं जबत्रक उनक े बीच की ि ू री का औसत मान 0.8 mm है| समय 𝑡 पर, िोनों त्रिररषयों क े बीच की ि ू री 𝑑=(0.8+0.04sin𝜔𝑡) mm है, जहााँ 𝜔=0.08 rad s⁻¹ है| परिे की त्रिररषयों से ि ू री 1 m है तिा त्रिररषयों को प्रिीप्त करने िाले प्रकाश की तरंगिैर्घ्यष 6000 Å है | परिे पर व्यत्रतकरर् (interference ) पैटनष समय क े साि बिलता है, परन्तु त्रबंिु O पर स्थित क ें द्रीय िीप्त त्रर ं ज (zero th fringe) स्थिर रहती है |
त्रबंिु O से ऊपर आठिीं (8th) िीप्त त्रर ं ज, िो चरम स्थित्रतयों क े बीच , समय क े साि िोलन करती है | इन िोनों चरम स्थित्रतयों क े बीच की ि ू री माइक्रो मीटर (𝜇m) में ______ होगी| खंड 4 (अधिकतम अंक : 12) इस खंड में दो (02) अनुच्छ े ि हैं | प्रत्येक अनुच्छ े ि पर आिाररत दो (02) प्रश् न हैं | प्रत्येक प्रश् न का उत्तर एक संख्यात्मक मान (NUMERICAL VALUE) है। प्रत्येक प्रश् न क े त्रलए , उत्तर प्रत्रिष्ट करने क े त्रलए त्रनत्रिषष्ट थिान पर माउज़ (MOUSE) और ऑन -स्क्रीन (ON-SCREEN) िचुषअल न्यूमेररक कीपैड (VIRTUAL NUMERIC KEYPAD) का उपयोग करक े उत्तर का सही संख्यात्मक मान प्रत्रिष्ट करें। यत्रि संख्यात्मक मान में िो से अत्रिक िशमलि थिान हैं , तो मान को दो (02) िशमलि थिानों तक समेंटे /शून्ांत (TRUNCATE/ROUND -OFF) करें । प्रत्येक प्रश् न क े उत्तर का मूल्ांकन त्रनम्न योजना क े अनुसार होगा : पूर्ष अंक : +3 यत्रि त्रनत्रिषष्ट थिान पर क े िल सही संख्यात्मक मान प्रत्रिष्ट त्रकया गया है | शून्य अंक : 0 अन्य सभी पररस्थित्रतयों में | PARAGRAPH I त्रचिानुसार , यंग क े त्रित्रिरी प्रयोग में, A एिं B त्रिररषयां अपने स्थिर मध्यत्रबंिु क े सापेक्ष िोलन कर रही हैं जबत्रक उनक े बीच की ि ू री का औसत मान 0.8 mm है| समय 𝑡 पर, िोनों त्रिररषयों क े बीच की ि ू री 𝑑=(0.8+0.04sin𝜔𝑡) mm है, जहााँ 𝜔=0.08 rad s⁻¹ है| परिे की त्रिररषयों से ि ू री 1 m है तिा त्रिररषयों को प्रिीप्त करने िाले प्रकाश की तरंगिैर्घ्यष 6000 Å है | परिे पर व्यत्रतकरर् (interference ) पैटनष समय क े साि बिलता है, परन्तु त्रबंिु O पर स्थित क ें द्रीय िीप्त त्रर ं ज (zero th fringe) स्थिर रहती है |
आठिीं (8th) िीप्त त्रर ं ज क े चलने की अत्रिकतम चाल _____ 𝜇m/s होगी| PARAGRAPH II एक द्रव्यमानरत्रहत स्रंग से जुड़े एक ही द्रव्यमान 𝑚 क े िो कर्, 1 और 2, त्रचिानुसार एक घर्षर् रत्रहत समतल पर हैं| प्रारंभ में, ये िोनों कर्, त्रजनका द्रव्यमान क ें द्र 𝑥0 पर है, आयाम 𝑎 तिा कोर्ीय आिृत्रत 𝜔 से िोलन कर रहे हैं| अतः , समय 𝑡 पर उनकी स्थित्रतयां, क्रमशः , 𝑥1(𝑡)=(𝑥0+𝑑)+𝑎 sin𝜔𝑡 और 𝑥2(𝑡)=(𝑥0−𝑑)−𝑎 sin𝜔𝑡 हैं, जहां 𝑑>2𝑎 है| द्रव्यमान 𝑚 का एक कर् 3, चाल 𝑢0 =𝑎𝜔/2 से इस त्रनकाय की तरफ चलते हुए समय 𝑡0 पर कर् 2 से तात्क्षत्रर्क प्रत्याथि संघट्ट (elastic collisio n) करता है| अंततः , कर्ों 1 ि 2 का द्रव्यमान -क ें द्र चाल 𝑣cm से चलता है और ये कर् आयाम 𝑏 तिा उसी कोर्ीय आिृत्रत 𝜔 से िोलन करते हैं |
यत्रि संघट्ट, समय 𝑡0=0 पर होता है तो 𝑣cm/(𝑎𝜔) का मान ___________ होगा| PARAGRAPH II एक द्रव्यमानरत्रहत स्रंग से जुड़े एक ही द्रव्यमान 𝑚 क े िो कर्, 1 और 2, त्रचिानुसार एक घर्षर् रत्रहत समतल पर हैं| प्रारंभ में, ये िोनों कर्, त्रजनका द्रव्यमान क ें द्र 𝑥0 पर है, आयाम 𝑎 तिा कोर्ीय आिृत्रत 𝜔 से िोलन कर रहे हैं| अतः , समय 𝑡 पर उनकी स्थित्रतयां, क्रमशः , 𝑥1(𝑡)=(𝑥0+𝑑)+𝑎 sin𝜔𝑡 और 𝑥2(𝑡)=(𝑥0−𝑑)−𝑎 sin𝜔𝑡 हैं, जहां 𝑑>2𝑎 है| द्रव्यमान 𝑚 का एक कर् 3, चाल 𝑢0 =𝑎𝜔/2 से इस त्रनकाय की तरफ चलते हुए समय 𝑡0 पर कर् 2 से तात्क्षत्रर्क प्रत्याथि संघट्ट (elastic collisio n) करता है| अंततः , कर्ों 1 ि 2 का द्रव्यमान -क ें द्र चाल 𝑣cm से चलता है और ये कर् आयाम 𝑏 तिा उसी कोर्ीय आिृत्रत 𝜔 से िोलन करते हैं |
यत्रि संघट्ट, समय 𝑡0=𝜋/(2𝜔) पर होता है तो 4𝑏2/𝑎2 का मान ___________ होगा|
बोर मॉडल ( Bohr’s model ) क े अनुसार, अधिकतम गधतज ऊजाा ( kinetic energy ) वाला इलेक्ट् र ॉन है
एक िातु न्यून ( metal deficient ) ऑक्साइड MXY2O4 ( M तथा Y िातु हैं ) के नमूने में M, +2 और +3 ऑक्सीकरण अवस्थाओं में तथा Y, +3 ऑक्सीकरण अवस्था में उपस्स्थत है । यधद M2+ का M में अंश 1 3 है, तो X का मान ______ है।
धनम्नधलस्ित अधिधिया क े अनुिम में, प्रमुि उत्पाद Q है
र्ॉस्फोरस पेंटाक्लोराइड (Phosphorous pentachloride ) का एक काबाधनक ध्रुवीय धवलायक ( organic polar solvent ) में फ्लोरीनेशन ( fluorination ) करने पर बनने वाले स्पीशीज़ ( species ) हैं
हाइड रैधज़न (hydrazine ) क े एक जलीय धवलयन का O₂ द्वारा धवद ् युत रासायधनक ऑक्सीकरण करने पर (electrochemically oxidized ) रासायधनक ऊजाा धवद ् युत ऊजाा क े रूप में धनकलती है । इस धवद ् युत रासायधनक अधिधिया से उत्पन्न होने वाले उत्पादों में से एक उत्पाद N₂(g) है। ऊपर दी गयी प्रधिया क े धलए सही कथन(कथनों) का चयन करें
P को Q में पररवधतात करने क े धलए अधिकारकों ( reagents ) क े सही अनुिम वाला(वाले) धवकल्प है (हैं)
परऑक्साइड ( peroxide ) बंिता ( linkage ) वाला(वाले) यौधगक है(हैं)
1 ग्राम चारकोल पर एधसधटक एधसड ( acetic acid ) की एक पूणा एकाणुक सतह ( monolayer ) क े धनमााण क े धलए 0.5 M एधसधटक एधसड ( acetic acid ) क े 100 mL का उपयोग धकया गया । क ु छ एधसधटक एधसड का अधिशोषण नहीं हुआ । अधिशोधषत नहीं हुए एधसधटक एधसड को उदासीन करने क े धलए 1 M NaOH क े 40 mL धवलयन की आवश्यकता पड़ती है । यधद एधसधटक एधसड का प्रत्येक अणु चारकोल की सतह का P x 10−23 m² क्षेत्रर्ल घेरता है तो P का मान ______ है। [ धदया गया है: चारकोल क े सतह का क्षेत्रर्ल = 1.5 x 102 m²g−1; Avogadro’s संख्या (NA) = 6.0 x 1023 mol⁻¹]
पात्र -1 में एक अवाष्पशील धवलेय X क े w2 ग्राम को w1 ग्राम जल में घोला जाता है । पात्र -2 में एक अन्य अवाष्पशील धवलेय Y क े w2 ग्राम को w1 ग्राम जल में घोला जाता है । दोनो पात्रों के तापमान और दाब समान हैं । X का मोलर मास Y क े मोलर मास का 80% है । इनक े अपने अपने सांद्रण में X का वान्ट हॉर् गुणक ( van’t Hoff factor ) Y के वान्ट हॉर् गुणक का 1.2 गुना है । पात्र -1 क े धवलयन का क्वथन ांक का उन्नयन ( elevation of boiling point ) पात्र -2 क े धवलयन का क्वथन ांक का उन्नयन का ______ % है। खंड 3 (अधिकतम अंक : 24) • इस िंड में छह (06) प्रश् न हैं | • प्रत्येक प्रश् न का उत्तर एक गैर-ऋणात्मक पूणाांक (NON -NEGATIVE INTEGER ) है| • प्रत्येक प्रश् न क े धलए उत्तर को दशााने वाले सही पूणाांक को माउज़ (MOUSE) और ऑन स्क्रीन (ON- SCREEN) वचुाअल नुमेररक कीपैड (VIRTUAL NUMERIC KEYPAD) क े प्रयोग से उत्तर क े धलए धचस्ित स्थान पर प्रधवष्ट करें | • प्रत्येक प्रश् न क े उत्तर का मूल्ांकन धनम्न योजना क े अनुसार होगा : पूणा अंक : +4 यधद धसर् ा सही पूणाांक (integer ) ही प्रधवष्ट धकया गया है | शून्य अंक : 0 अन्य सिी पररस्स्थधतयों में | JEE (Advanced) 202 4 Paper 2 6/8
एक धद्व रज्जुकीय ( double strand ) संरचना क े DNA की एक रज्जुक नीचे दी गई है इस धद्वरज्जुकीय संरचना क े DNA को दो एक रज्जुकों में पररवधतात करने क े धलए क ु ल ______ kcal mol⁻¹ ऊजाा की आवश्यकता है । [धदया गया है: प्रधत हाइड र ोजन बन्ध की औसत ऊजाा A-T क्षारक युगल ( base pair ) क े धलए 1.0 kcal mol⁻¹, G-C क्षारक युगल क े धलए 1.5 kcal mol⁻¹ और A-U क्षारक युगल क े धलए 1.25 kcal mol⁻¹ है| र्ॉस्फ े ट समूहों क े बीच में स्स्थर धवद ् युत प्रधतकषाण को नकार लें । ]
एक नमूने में प्रारम्भ में युरेधनयम का क े वल U-238 समस्थाधनक ( isotope ) है। समय क े साथ क ु छ U-238 क े नाधिकीय क्षय क े र्लस्वरूप Pb-206 बनता है और U-238 की क ु छ मात्रा अधवघधटत रह जाती है । नमूने की आयु P x108 वषा होने पर, उसमें Pb-206 और U-238 क े िार का अनुपात 7 पाया गया। P का मान ____ __ है। [धदया है : U-238 की अिा आयु 4.5 x109 वषा है; log e2 = 0.693]
[Co(CN)4]4−,[Co(CO)3(NO)],XeF4,[PCl4]+,[PdC l4]2− ,[ICl4]− ,[Cu(CN)4]3− तथा P4 में चतुष्फलकीय ज्याधमधत वाले स्पीशीज की क ु ल संख्या ______ है।
एक काबाधनक यौधगक P, धजसका अणुसूत्र ( molecular formula ) C6H6O3 है, र् े ररक क्लोराइड परीक्षण देता है और इसमें अंत:आस्िक हाइड र ोजन आबंि ( intramolecular hydrogen bond ) नहीं है। यौधगक P, NH 2OH क े 3 समतुल्ांक से अधिधिया करने पर ऑस्क्सम ( oxime ) Q बनाता है। KOH की उपस्स्थधत में, मेधथल आयोडाइड की अधिक मात्रा से P का धववेचन ( treatment ) करने पर मुख्य उत्पाद यौधगक R बनता है । यौधगक R की अधिधिया आइसो -ब्यूटाइलमैग्नीधशयम ब्रोमाइड (iso-butylmagnesium bromide ) की अधिक मात्रा से करने क े पश्चात H3O+ से धववेचन कराने पर मुख्य उत्पाद यौधगक S बनता है। यौधगक S में मेधथल ( -CH 3) समूह(हों) की क ु ल संख्या ______ है। JEE (Advanced) 202 4 Paper 2 7/8 “PARAGRAPH I” एक काबाधनक यौधगक P, धजसका अणुसूत्र ( molecular formula) C 9H18O₂ है, ब्रोमीन वाटर ( bromine water ) को रंगधवहीन करता है तथा आयोडोर्ॉमा ( iodoform ) परीक्षण देता है। P का ओज़ो नीकरण (ozonolysis ) क े पश्चात H2O₂ से धववेचन ( treatment ) करने पर Q और R बनते हैं। Q आयोडोर्ॉमा परीक्षण देता है लेधकन R आयोडोर्ॉमा परीक्षण नहीं देता है। Q और R धपरीडीधनयम क्लोरोिोमेट (PCC) क े द्वारा आक्सीकरण करने क े पश्चात गमा धकये जाने पर िमशः S और T देते हैं। S और T दोनों ही आयोडोर्ॉमा ( iodoform ) परीक्षण देते हैं। Q क े 500 मोलों और R क े 500 मोलों का पूणा सहबहुलकीकरण (copolymerization) होने पर एक अचिीय सहबहुलक ( copolymer ) U का एक मोल ( mole ) बनता है । [धदया है, परमाणु िार : H =1, C = 12, O =16]
S और T में ऑक्सीजन परमाणुओं की संख्या का योग ______ है। खंड 4 (अधिकतम अंक : 12) • इस िंड में दो (02) अनुच्छ े द हैं | • प्रत्येक अनुच्छ े द पर आिाररत दो (02) प्रश् न हैं | • प्रत्येक प्रश् न का उत्तर एक संख्यात्मक मान (NUMERICAL VALUE) है। • प्रत्येक प्रश् न क े धलए , उत्तर प्रधवष्ट करने क े धलए धनधदाष्ट स्थान पर माउज़ (MOUSE) और ऑन -स्क्रीन (ON-SCREEN) वचुाअल न्यूमेररक कीपैड ( VIRTUAL NUMERIC KEYPAD) का उपयोग करक े उत्तर का सही संख्यात्मक मान प्रधवष्ट करें। • यधद संख्यात्मक मान में दो से अधिक दशमलव स्थान हैं , तो मान को दो (02) दशमलव स्थानों तक समेंटे /शून्ांत (TRUNCATE/ROUND -OFF) करें । • प्रत्येक प्रश् न क े उत्तर का मूल्ांकन धनम्न योजना क े अनुसार होगा : पूणा अंक : +3 यधद धनधदाष्ट स्थान पर क े वल सही संख्यात्मक मान प्रधवष्ट धकया गया है | शून्य अंक : 0 अन्य सिी पररस्स्थधतयों में | JEE (Advanced) 202 4 Paper 2 8/8 “PARAGRAPH I” एक काबाधनक यौधगक P, धजसका अणुसूत्र ( molecular formula) C 9H18O₂ है, ब्रोमीन वाटर ( bromine water ) को रंगधवहीन करता है तथा आयोडोर्ॉमा ( iodoform ) परीक्षण देता है। P का ओज़ो नीकरण (ozonolysis ) क े पश्चात H2O₂ से धववेचन ( treatment ) करने पर Q और R बनते हैं। Q आयोडोर्ॉमा परीक्षण देता है लेधकन R आयोडोर्ॉमा परीक्षण नहीं देता है। Q और R धपरीडीधनयम क्लोरोिोमेट (PCC) क े द्वारा आक्सीकरण करने क े पश्चात गमा धकये जाने पर िमशः S और T देते हैं। S और T दोनों ही आयोडोर्ॉमा ( iodoform ) परीक्षण देते हैं। Q क े 500 मोलों और R क े 500 मोलों का पूणा सहबहुलकीकरण (copolymerization) होने पर एक अचिीय सहबहुलक ( copolymer ) U का एक मोल ( mole ) बनता है । [धदया है, परमाणु िार : H =1, C = 12, O =16]
U का अणु िार ______ है। “PARAGRAPH II” पोटैधशयम र् े रीसाइनाइड क े जलीय धवलयन में पोटैधशयम आयोडाइड को धमलाने पर, एक उत्क्रमणीय अधिधिया (reversible reaction ) होती है धजसमें एक संक ु ल P बनता है | प्रबल अम्लीय माध्यम में साम्यावस्था पूणा रूप से P की धदशा में धवस्थाधपत हो जाती है | क्षीण अम्लीय माध्यम में संक ु ल P में धजंक क्लोराइड धमलाने पर एक अल्प धवलेय संक ु ल Q प्राप्त होता है ।
P क े दो मोलों ( moles ) को बनाने क े धलए आवश्यक आयोडाइड आय नों क े मोलों की संख्या ______ है। “PARAGRAPH II” पोटैधशयम र् े रीसाइनाइड क े जलीय धवलयन में पोटैधशयम आयोडाइड को धमलाने पर, एक उत्क्रमणीय अधिधिया (reversible reaction ) होती है धजसमें एक संक ु ल P बनता है | प्रबल अम्लीय माध्यम में साम्यावस्था पूणा रूप से P की धदशा में धवस्थाधपत हो जाती है | क्षीण अम्लीय माध्यम में संक ु ल P में धजंक क्लोराइड धमलाने पर एक अल्प धवलेय संक ु ल Q प्राप्त होता है ।
Q क े अणुसूत्र (molecular formula) में धजंक आयनों की संख्या ____ __ है।
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