गणित (Maths) · कक्षा 11 · सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघात समीकरण

सम्मिश्र संख्याएँ (JEE)

इस टॉपिक के लिए सब कुछ एक पेज पर: बातें, सूत्र, गलतियाँ और मुफ़्त लेक्चर।

Last updated: 26 October 2026

सीधा जवाब

सम्मिश्र संख्याओं (complex numbers) का बीजगणित, मापांक (modulus) और कोणांक (argument), ध्रुवीय (polar) और ऑयलर रूप (Euler forms), इकाई के घनमूल (cube roots of unity), डी मॉयवर प्रमेय (De Moivre's theorem) और आर्गंड तल (Argand plane) में बिंदुपथ (loci)।

सम्मिश्र संख्याओं (complex numbers) का बीजगणित, मापांक (modulus) और कोणांक (argument), ध्रुवीय (polar) और ऑयलर रूप (Euler forms), इकाई के घनमूल (cube roots of unity), डी मॉयवर प्रमेय (De Moivre's theorem) और आर्गंड तल (Argand plane) में बिंदुपथ (loci)।

मुख्य बातें

सम्मिश्र संख्याएँ: क्या समझना ज़रूरी है

|z|² = z z̄
arg(z₁z₂) = arg z₁ + arg z₂
इकाई के घनमूल (Cube roots of unity): 1 + ω + ω² = 0, ω³ = 1
|z − z₀| = r एक वृत्त (circle) है

सूत्र

सम्मिश्र संख्याएँ के ज़रूरी सूत्र

z = r(cosθ + i sinθ) = re^(iθ)
De Moivre: (cosθ + i sinθ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ
त्रिभुज असमिका (Triangle inequality): |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|
|z − z₁| = |z − z₂| लम्ब समद्विभाजक (perpendicular bisector) है

बचें

छात्रों की आम गलतियाँ

मुख्य कोणांक (Principal argument) की परास (range) (−π, π] है
कोणांक (arg) निकालते समय चतुर्थांश (quadrant) भूल जाना
लंबे विस्तार (long expansions) में i² को +1 मान लेना

परीक्षा के लिए

JEE में यह टॉपिक कैसे पूछा जाता है

अक्सर आता है। बिंदुपथ (Locus) के सवाल बहुत आते हैं। अटक जाओ तो x + iy में बदल लो।

मुफ़्त लेक्चर

सम्मिश्र संख्याएँ के सबसे अच्छे मुफ़्त लेक्चर

स्थापित JEE चैनलों के पूरे अध्याय वाले मुफ़्त YouTube लेक्चर (ज़्यादातर हिंग्लिश में)। एक लेक्चर देखें, फिर उसी दिन PYQ हल करें।

Complex Numbers in 1 Shot - All Concepts, Tricks & PYQs Covered | Class 11 | JEE Main & Advanced — JEE Wallah, 5:57:13
किसी सब-टॉपिक पर जाएँ (20)
- 0:00 Introduction
- 4:51 Iota and Its Powers
- 27:09 Complex Numbers
- 37:24 Algebra of Complex Numbers
- 53:21 Equality of Complex Numbers
- 1:30:13 Modulus, Argument, Conjugate of Complex Number
- 1:42:53 BREAK 1
- 1:54:43 How To Find Argument of a Complex Number?
- 2:33:47 Mixed Properties of Modulus And Conjugate
- 2:58:55 Important Result
- 3:06:38 Square Root of a Complex Number
- 3:25:29 Three Forms of a Complex Numbers
- 3:33:30 BREAK 2
- 3:56:05 Problems on Forms of Complex Numbers
- 4:08:17 Euler's Identity and Important Relation
- 4:16:15 Demoivre's Theorem
- 4:24:07 Applications of DMT
- 4:40:50 Nth Roots of Unity
- 5:13:00 Cube Roots of Unity
- 5:26:41 Important Observations
Complex Numbers FULL CHAPTER | Class 11th Maths | Arjuna JEE — Arjuna JEE, 4:36:23
किसी सब-टॉपिक पर जाएँ (9)
- 00:00 Introduction
- 34:09 Algebra of Complex Numbers
- 59:07 Conjugate of a Complex Numbers (2)
- 01:11:05 Modulus of a Complex Numbers (z)
- 01:34:48 Argument of a Complex Numbers
- 02:09:38 Demoivre's Theorem
- 02:20:34 Finding Cube Roots of Unity Using D.M.T
- 02:41:59 Roots of Unity
- 04:35:11 Thank You Bachoo!!

अभ्यास

मुफ़्त में कहाँ अभ्यास करें

10 JEE Main 2026 PYQ हल सहित
NCERT textbooks (official, free) में अध्याय पढ़ें, फिर NCERT Exemplar (official, free) के सवाल हल करें।
एक पेज की प्रिंट करने योग्य फ़ॉर्मूला शीट (अंग्रेज़ी)
टाइम्ड टेस्ट: NTA Abhyas practice tests (official, free) और हमारे मुफ़्त मॉक टेस्ट।
इंटरैक्टिव सिमुलेशन में इसे चलते हुए देखें।

FAQs

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या JEE Main 2027 के लिए सम्मिश्र संख्याएँ ज़रूरी है?

अक्सर आता है। यह JEE Main 2027 के आधिकारिक सिलेबस में है।

सम्मिश्र संख्याएँ के सबसे ज़रूरी सूत्र कौन से हैं?

z = r(cosθ + i sinθ) = re^(iθ); De Moivre: (cosθ + i sinθ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ; त्रिभुज असमिका (Triangle inequality): |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|।

JEE के लिए सम्मिश्र संख्याएँ कैसे पढ़ें?

NCERT या एक पूरे लेक्चर से बातें समझें, सूत्र याद करें, फिर इस टॉपिक के 25–30 पुराने JEE सवाल हल करें। बिंदुपथ (Locus) के सवाल बहुत आते हैं। अटक जाओ तो x + iy में बदल लो।