फलन: प्रांत, परिसर और रूपांतरण

प्रांत

सभी वैध निविष्ट मानों (x) का समुच्चय

जाँच करें: हर ≠ 0, वर्गमूल ≥ 0

लघुगणक: argument > 0

परास

सभी संभव आउटपुट मानों (y) का समुच्चय

f(x) = x² के लिए: परिसर = [0, ∞)

फलन के प्रकार पर निर्भर करता है

ऊर्ध्वाधर विस्थापन

f(x) + c: c द्वारा ऊपर की ओर विस्थापित होता है

f(x) - c: c से नीचे की ओर विस्थापित होता है

प्रांत अपरिवर्तित रहता है, परिसर स्थानांतरित होता है

क्षैतिज विस्थापन

f(x + c): c द्वारा बाईं ओर विस्थापित होता है

f(x - c): c द्वारा दाईं ओर विस्थापित होता है

परिसर अपरिवर्तित, प्रांत स्थानांतरित होता है

🧠 रूपांतरण नियम

f(x+a): बाईं ओर a से शिफ्ट करें
f(x-a): दाईं ओर a से स्थानांतरित करें
f(ax): क्षैतिज संपीडित करें
af(x): लंबवत खींचें

🧠 डोमेन नियम

हर ≠ 0
वर्गमूल ≥ 0
Log का argument > 0
हमेशा अंत्य बिंदुओं (endpoints) की जाँच करें!

🧠 परिसर के नियम

x²: [0, ∞)
sin(x): [-1, 1]
eˣ: (0, ∞)
1/x: ℝ - {0}

🧠 प्रतिलोम फलन

f⁻¹(f(x)) = x
x और y को आपस में बदलें, y के लिए हल करें
f का प्रांत = f⁻¹ का परिसर

❌ 1/x के लिए गलत प्रांत (domain)

प्रांत (Domain) ℝ - {0} है। परिसर (Range) भी ℝ - {0} है। कई विद्यार्थी भूल जाते हैं कि y कभी भी 0 नहीं हो सकता।

❌ विस्थापन की दिशा में भ्रम

f(x+2) बाईं ओर विस्थापित (shift) होता है, दाईं ओर नहीं। सोचिए: f(0) प्राप्त करने के लिए, आपको x=-2 चाहिए। अंदर का + विपरीत दिशा में चलता है।

❌ रूपांतरण के बाद प्रांत (domain) की उपेक्षा करना

√(x-2) का प्रांत (domain) [2,∞) है। अंदर का -2 प्रांत को दाईं ओर विस्थापित (shift) करता है। रूपांतरण (transformation) के बाद हमेशा अंत्य बिंदुओं (endpoints) की जाँच करें।

❌ f(g(x)) और g(f(x)) को मिला देना

f(g(x)) का अर्थ है पहले g लगाएँ, फिर f। सामान्यतः f(g(2)) ≠ g(f(2))। JEE में यह फलनात्मक समीकरणों (functional equations) में पूछा जाता है।