JEE Advanced 2025 Paper 2 (Hindi)

मान िीलिए लक 𝑥0 िह िास्तलिक संख्या (real number) है लक 𝑒𝑥0+𝑥0=0 है | लकसी िी गयी एक िास्तलिक संख्या 𝛼, तर्ा सभी िास्तलिक संख्याओं 𝑥 क े लिए 𝑔(𝑥)=3𝑥𝑒𝑥+3𝑥−𝛼𝑒𝑥−𝛼𝑥 3(𝑒𝑥+1) पररभालित कीलिये | तब लनम्नलिस्खत कर्नपं में से कौन सा एक कर्न सत्य है ?

1. 𝛼=2 के लिए , lim 𝑥→𝑥0| 𝑔(𝑥)+ 𝑒𝑥0 𝑥−𝑥0 |=0 है
2. 𝛼=2 के लिए , lim 𝑥→𝑥0| 𝑔(𝑥)+ 𝑒𝑥0 𝑥−𝑥0 |=1 है
3. 𝛼=3 के लिए , lim 𝑥→𝑥0| 𝑔(𝑥)+ 𝑒𝑥0 𝑥−𝑥0 |=0 है
4. 𝛼=3 के लिए , lim 𝑥→𝑥0| 𝑔(𝑥)+ 𝑒𝑥0 𝑥−𝑥0 |=2 3 है

मान िीलिए लक ℝ सभी िास्तलिक संख्याओं (real numbers ) के समुच्चय (set) कप िशाणता है | तब क्षेत्र (region ) {(𝑥,𝑦)∈ℝ×ℝ∶𝑥>0,𝑦>1 𝑥 ,5𝑥−4𝑦−1>0,4𝑥+4𝑦−17<0 } का क्षेत्रर्ि (area) है

1. 17 16−log𝑒4
2. 33 8− log𝑒4
3. 57 8−log𝑒4
4. 17 2−log𝑒4

समीकरर् ( equation ) 𝜃=tan−1(2tan𝜃)−1 2sin−1(6tan𝜃 9+tan2𝜃) क े क ु ि िास्तलिक हिपं की संख्या (total number of real solutions ) है (यहााँ प्रलतिपम लत्रकपर्लमतीय र्िनपं (inverse trigonometric functions ) sin−1𝑥 तर्ा tan−1𝑥 क े मान क्रमशः (respectively ), [−𝜋 2,𝜋 2] और (−𝜋 2,𝜋 2) में हैं |)

1. 1
2. 2
3. 3
4. 5

मान िीलिए लक 𝑆 , रेखा-युग्म (pair of lines ) 4𝑥−3𝑦=12𝛼 , 4𝛼𝑥+3𝛼𝑦=12 , क े प्रलतच्छेिन लबंिु (point of intersection ) क े लबंिुपर् (locus ) कप िशाणता है, िहााँ 𝛼 शून्येतर िास्तलिक संख्याओं (non-zero real numbers ) क े समुच्चय (set) पर लिचररत करता (varies on) है | मान िीलिए लक 𝑇, िक्र (curve) 𝑆 पर िह स्पशण -रेखा (tangent ) है िप लबन्िुओं (𝑝,0) तर्ा (0,𝑞),𝑞>0, से गुिरती है , और रेखा 4 𝑥−3 √2 𝑦=0 के समांतर (parallel ) है | तब 𝑝𝑞 का मान है

1. −6√2
2. −3√2
3. −9√2
4. −12√2 खंड 2 (अधिकतम अंक : 16) • इस खंड में चार (04) प्रश् न हैं | • प्रत्येक प्रश् न के लिए चार लिकल्प (A),
5. ,
6. और
7. लिए गए हैं | इन चार लिकल्पपं में से एक या एक से अधिक लिकल्प सही उत्तर है (हैं) | • प्रत्येक प्रश् न के लिए लिए हुए लिकल्पपं में से सही उत्तर (उत्तरपं) से संबंलित लिकल्प (लिकल्पपं) कप चुलनए | • प्रत्येक प्रश् न के उत्तर का मूल्ांकन धनम्न योजना क े अनुसार होगा : पूर्ण अंक :+4 यलि क े िि (सारे) सही लिकल्प (लिकल्पपं) कप चुना गया है | आंलशक अंक : +3 यलि चारपं लिकल्प सही हैं परन्तु क े िि तीन लिकल्पपं कप चुना गया है | आंलशक अंक : +2 यलि तीन या तीन से अलिक लिकल्प सही हैं परन्तु क े िि िप लिकल्पपं कप चुना गया है और िपनपं चुने हुए लिकल्प सही लिकल्प हैं | आंलशक अंक : +1 यलि िप या िप से अलिक लिकल्प सही हैं परन्तु क े िि एक लिकल्प कप चुना गया है और चुना हुआ लिकल्प एक सही लिकल्प है | शून्य अंक : 0 यलि लकसी भी लिकल्प कप नहीं चुना गया है (अर्ाणत् प्रश् न अनुत्तररत है ) | ऋर् अंक : −2 अन्य सभी पररस्थर्लतयपं में | • उिाहरर्: यलि लकसी प्रश् न क े लिए क े िि लिकल्प (A),
8. और
9. सही लिकल्प हैं ,तब क े िि लिकल्प (A),
10. और
11. चुनने पर +4 अंक लमिेंगे; क े िि लिकल्प (A) और
12. चुनने पर +2 अंक लमिेंगे ; क े िि लिकल्प (A) और
13. चुनने पर +2 अंक लमिेंगे ; क े िि लिकल्प
14. और
15. चुनने पर +2 अंक लमिेंगे ; क े िि लिकल्प (A) चुनने पर +1 अंक लमिेंगे ; क े िि लिकल्प
16. चुनने पर +1 अंक लमिेंगे ; क े िि लिकल्प
17. चुनने पर +1 अंक लमिेंगे ; कपई भी लिकल्प ना चुनने पर (अर्ाणत् प्रश् न अनुत्तररत रहने पर ) 0 अंक लमिेंगे; और अन्य लकसी लिकल्पपं क े संयपिन कप चुनने पर −2 अंक लमिेंगे |

मान िीलिए लक 𝐼= (10 01) , और 𝑃=(20 03) हैं | मान िीलिए लक लकन्ीं शून्येतर (non-zero) िास्तलिक संख्याओं (real numbers ) 𝑥,𝑦, और 𝑧 क े लिए ,𝑄=(𝑥𝑦 𝑧4) है , लिसक े लिए एक 2×2 आव्यूह (matrix ) 𝑅 है, लिसकी सभी प्रलिलियााँ (entries ) शून्येतर िास्तलिक संख्याएाँ हैं , तर्ा 𝑄𝑅=𝑅𝑃 है | तब लनम्नलिस्खत कर्नपं में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

1. 𝑄−2𝐼 का सारलर्क (determinant ) शून्य (zero) है
2. 𝑄−6𝐼 का सारलर्क (determinant ) 12 है
3. 𝑄−3𝐼 का सारलर्क (determinant ) 15 है
4. 𝑦𝑧=2 है

मान िीलिए लक 𝑆 , परििय (parabola ) 𝑦2=𝑥 की उन सभी िीिाओं (chords ) के मध्य-लबंिुओं (mid-points ) का लबन्िुपर् (locus ) है , लिनक े लिए परििय एिं िी िा द्वारा लिरे क्षेत्र (region enclosed) का क्षेत्रर्ि (area) 4 3 है | मान िीलिए लक ℛ प्रर्म चतुर्ाांश (first quadrant ) में उस क्षेत्र कप िशाणता है , िप परििय 𝑦2=𝑥 , िक्र (curve) 𝑆 , और रेखाओं 𝑥=1 तर्ा 𝑥=4 द्वारा लिरा हुआ है | तब लनम्नलिस्खत कर्नपं में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

1. (4,√3 )∈𝑆
2. (5,√2 )∈𝑆
3. ℛ का क्षेत्रर्ि 14 3−2 √3 है
4. ℛ का क्षेत्रर्ि 14 3−√3 है

मान िीलिए लक 𝑃(𝑥1,𝑦1) और 𝑄(𝑥2,𝑦2) , िीिणिृत्त (ellipse ) 𝑥2 9 +𝑦2 4=1 पर िप ऐसे लभन्न लबंिु हैं, लक 𝑦1>0 और 𝑦2>0 हैं | मान िीलिए लक 𝐶, िृत्त (circle) 𝑥2+𝑦2=9 कप िशाणता है, और 𝑀, लबंिु (3,0) है | मान िीलिए लक रेखा (line) 𝑥=𝑥1 , िृत्त 𝐶 कप 𝑅 पर प्रलतच्छेलित (intersect) करती है, और रेखा 𝑥=𝑥2 , िृत्त 𝐶 कप 𝑆 पर प्रलतच्छेलित करती है, िहााँ 𝑅 तर्ा 𝑆 के 𝑦-लनिेशांक (𝑦-coordinates ) िनात्मक (positive ) हैं | मान िीलिए लक ∠𝑅𝑂𝑀=𝜋 6 और ∠𝑆𝑂𝑀=𝜋 3 हैं, िहााँ 𝑂 मूिलबंिु (origin) (0,0) कप िशाणता है | मान िीलिए लक |𝑋𝑌|, रेखाखंड (line segment ) 𝑋𝑌 की िंबाई कप िशाणता है | तब लनम्नलिस्खत कर्नपं में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

1. 𝑃 और 𝑄 कप िपड़ने िािी रेखा का समीकरर् ( equation ) 2𝑥+3𝑦=3 (1+√3 ) है
2. 𝑃 और 𝑄 कप िपड़ने िािी रेखा का समीकरर् ( equation ) 2𝑥+𝑦=3 (1+√3 ) है
3. यलि 𝑁2=(𝑥2,0) है, तब 3 |𝑁2𝑄|=2 |𝑁2𝑆| है
4. यलि 𝑁1=(𝑥1,0) है, तब 9 |𝑁1𝑃|=4 |𝑁1𝑅| है

मान िीलिए लक ℝ सभी िास्तलिक संख्याओं (real numbers ) के समुच्चय (set) कप िशाणता है | मान िीलिए र्िन (function) 𝑓:ℝ→ℝ , 𝑓(𝑥)={ 6𝑥+sin𝑥 2𝑥+sin𝑥 यलि 𝑥≠0, 7 3 यलि 𝑥=0 , द्वारा पररभालित है | तब लनम्नलिस्खत कर्नपं में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

1. लबंिु 𝑥=0 , 𝑓 का एक थर्ानीय उच्चतम का लबंिु (point of local maxima ) है
2. लबंिु 𝑥=0 , 𝑓 का एक थर्ानीय लनम्नतम का लबंिु (point of local minima ) है
3. अंतराि (interval ) [𝜋,6𝜋] में 𝑓 के थर्ानीय उच्चतम क े लबंिु ओं (points of local maxima ) की संख्या 3 है
4. अंतराि (interval ) [2𝜋,4𝜋] में 𝑓 के थर्ानीय लनम्नतम क े लबंिुओं (points of local minima ) की संख्या 1 है

मान िीलिए लक 𝑦(𝑥), अिकि समीकरर् (differential equation ) 𝑥2𝑑𝑦 𝑑𝑥+𝑥𝑦=𝑥2+𝑦2, 𝑥>1 𝑒 , का िह हि (solution ) है िप 𝑦(1)=0 कप संतुि करता है | तब 2(𝑦(𝑒))2 𝑦(𝑒2) का मान ___________ है |

मान िीलिए लक 𝑎0,𝑎1,…,𝑎23 इस प्रकार की िास्तलिक संख्याएाँ (real numbers ) हैं लक सभी िास्तलिक संख्याओं 𝑥 क े लिए , (1+2 5𝑥)23 = ∑𝑎𝑖𝑥𝑖 23 𝑖=0 है | मान िीलिए लक संख्याओं 𝑎𝑗, 0≤𝑗≤23, में सबसे बड़ी संख्या 𝑎𝑟 है | तब 𝑟 का मान ___________ है | खंड 3 (अधिकतम अंक : 32) • इस खंड में आठ (08) प्रश् न हैं | • प्रत्येक प्रश् न का उत्तर एक संख्यात्मक मान (NUMERICAL VALUE) है। • प्रत्येक प्रश् न क े लिए, उत्तर प्रलिि करने क े लिए लनलिणि थर्ान पर माउज़ (MOUSE) और ऑन-स्क्रीन (ON-SCREEN) िचुणअि न्यूमेररक कीपैड ( VIRTUAL NUMERIC KEYPAD) का उपयपग करक े उत्तर का सही संख्यात्मक मान प्रलिि करें। • यलि संख्यात्मक मान में िप से अलिक िशमिि थर्ान हैं , तप मान कप दो (02) िशमिि थर्ानपं तक समेटें/ शून्ांत (TRUNCATE/ROUND -OFF) करें । • प्रत्येक प्रश् न क े उत्तर का मूल्ांकन धनम्न योजना क े अनुसार होगा : पूर्ण अंक : +4 यलि लनलिणि थर्ान पर क े िि सही संख्यात्मक मान प्रलिि लकया गया है | शून्य अंक : 0 अन्य सभी पररस्थर्लतयपं में |

एक कारखाने (factory ) में क ु ि तीन लनमाणर् इकाइयााँ (manufacturing units ) 𝑀1,𝑀2, और 𝑀3 हैं, िप एक िूसरे से स्वतन्त्र रूप से (independent of each other ) बल्पं का उत्पािन करती हैं | इकाइयााँ 𝑀1,𝑀2, और 𝑀3 , क्रमशः (respectively ) 2 :2:1 के अनुपात (proportions) में बल् बनाती हैं | यह ज्ञात है लक कारखाने में बनने िािे सभी बल्पं में 20% बल् खराब लनकिते हैं | यह भी ज्ञात है लक 𝑀1 द्वारा बनाये गए सभी बल्पं में 15% बल् खराब लनकिते हैं | मान िीलिए लक, यलि कारखाने में बनाये गए बल्पं में से एक यादृच्छया (randomly ) चुना गया बल् खराब पाया िाता है, तब इसक े 𝑀2 द्वारा बनाये िाने की प्रालयकता (probability ) 2 5 है | यलि 𝑀3 द्वारा बनाये गये बल्पं में से एक बल् यादृच्छया चुना िाता है , तब इसक े खराब लनकिने की प्रालयकता ___________ है |

सलिशपं (vectors ) 𝑥⃗=𝑖̂+2𝑗̂+3𝑘̂ ,𝑦⃗=2𝑖̂+3𝑗̂+𝑘̂ ,और 𝑧⃗=3𝑖̂+𝑗̂+2𝑘̂ पर लिचार कीलिये | िप लभन्न (distinct ) िनात्मक िास्तलिक संख्याओं (positive real numbers ) 𝛼 और 𝛽 के लिए , 𝑋⃗=𝛼𝑥⃗+𝛽𝑦⃗−𝑧⃗ ,𝑌⃗⃗=𝛼𝑦⃗+𝛽𝑧⃗−𝑥⃗,और 𝑍⃗=𝛼𝑧⃗+𝛽𝑥⃗−𝑦⃗ पररभालित कीलिए | यलि सलिश 𝑋⃗,𝑌⃗⃗, और 𝑍⃗ एक समति (plane ) पर स्थर्त हैं, तब 𝛼+𝛽−3 का मान ___________ है |

लकसी शून्येतर (non-zero) सस्िश्र संख्या (complex number ) 𝑧 क े लिए , मान िीलिए लक arg(𝑧), 𝑧 के मुख्य कपर्ांक (principal argument ) कप िशाणता है , िहााँ −𝜋<arg(𝑧)≤𝜋 है | मान िीलिए लक 𝜔 , एकक (unity ) का िह िनमूि (cube root ) है, लिसक े लिए 0<arg(𝜔)<π है | मान िीलिए लक 𝛼=arg( ∑(−𝜔)𝑛2025 𝑛=1) है | तब 3𝛼 𝜋 का मान ___________ है |

मान िीलिए लक ℝ सभी िास्तलिक संख्याओं (real numbers ) के समुच्चय (set) कप िशाणता है | मान िीलिए लक र्िन (functions ) 𝑓:ℝ→ℝ और 𝑔:ℝ→(0,4), 𝑓(𝑥)=log𝑒(𝑥2+2𝑥+4) ,और 𝑔(𝑥)=4 1+𝑒−2𝑥 द्वारा पररभालित हैं | संयुक्त र्िन (composite function ) 𝑓∘𝑔−1 कप (𝑓∘𝑔−1) (𝑥)=𝑓(𝑔−1(𝑥)) द्वारा पररभालित कीलिए, िहााँ 𝑔−1, र्िन 𝑔 का प्रलतिपम (inverse ) है | तब 𝑥=2 पर संयुक्त र्िन 𝑓∘𝑔−1 क े अिकिि (derivative ) का मान ___________ है |

मान िीलिए लक α=1 sin60∘ sin61∘ + 1 sin62∘ sin63∘ + ⋯ +1 sin118∘ sin119∘ है | तब ( cosec1∘ α)2 का मान ___________ है |

यलि 𝛼=∫tan−1𝑥 2𝑥2−3𝑥+22 1 2 𝑑𝑥 है, तब √7tan(2𝛼 √7 𝜋) का मान ___________ है | (यहााँ प्रलतिपम लत्रकपर्लमतीय र्िन (inverse trigonometric function ) tan−1𝑥 क े मान (−𝜋 2,𝜋 2) में हैं |)