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मान िीलिए लक ℝ सभी िास्तलिक संख्याओं (real numbers ) के समुच्चय (set) कप िशाणता है | मान िीलिए लक 𝑖∈{1,2,3} क े लिए 𝑎𝑖,𝑏𝑖∈ℝ हैं | र्िनपं (functions ) 𝑓:ℝ→ℝ,𝑔:ℝ→ℝ, और ℎ:ℝ→ℝ कप 𝑓(𝑥)=𝑎1+10𝑥+ 𝑎2𝑥2+𝑎3𝑥3+𝑥4, 𝑔(𝑥)=𝑏1+3𝑥+ 𝑏2𝑥2+𝑏3𝑥3+𝑥4, ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥+1)−𝑔(𝑥+2) द्वारा पररभालित कीलिए | यलि प्रत्येक 𝑥∈ ℝ क े लिए 𝑓(𝑥)≠𝑔(𝑥) है, तब ℎ(𝑥) में 𝑥3 का गुर्ांक (coefficient ) है
तीन लिद्यालर्णयपं 𝑆1,𝑆2, और 𝑆3 कप एक सिाि (problem) हि करने क े लिए लिया गया है | लनम्नलिस्खत घटनाओं (events) पर लिचार कीलिये : 𝑈: 𝑆1,𝑆2, और 𝑆3 में से कम से कम एक , इस सिाि कप हि कर सकता है, 𝑉: 𝑆1 सिाि कप हि कर सकता है, िब यह ज्ञात है लक 𝑆2 और 𝑆3 में से कपई भी सिाि कप हि नहीं कर सकता है, 𝑊: 𝑆2 सिाि कप हि कर सकता है और 𝑆3 सिाि कप हि नहीं कर सकता है, 𝑇: 𝑆3 सिाि कप हि कर सकता है | लकसी घटना 𝐸 क े लिए, मान िीलिए लक 𝑃(𝐸), घटना 𝐸 की प्रालयकता (probability) कप िशाणता है | यलि 𝑃(𝑈)=1 2 ,𝑃(𝑉)=1 10 , और 𝑃(𝑊)=1 12 हैं, तब 𝑃(𝑇) बराबर है
मान िीलिए लक ℝ सभी िास्तलिक संख्याओं (real numbers ) के समुच्चय (set) कप िशाणता है | र्िन (function) 𝑓:ℝ→ℝ कप 𝑓(𝑥)={2−2𝑥2−𝑥2sin1 𝑥 यलि 𝑥≠0, 2 यलि 𝑥=0 , द्वारा पररभालित कीलिये | तब लनम्नलिस्खत कर्नपं में से कौन सा एक कर्न सत्य है ?
आव्यूह (matrix ) 𝑃=( 200 020 003) पर लिचार कीलिए | मान िीलिए लक लकसी आव्यूह 𝑋 क े पररितण (transpose ) कप 𝑋𝑇 द्वारा िशाणया िाता है | तब पूर्ाांक प्रलिलियपं (integer entries ) िािे 3×3 व्युत्क्र मर्ीय आव्यू हपं (invertible matrices ) 𝑄, लिनक े लिए 𝑄−1=𝑄𝑇 और 𝑃𝑄=𝑄𝑃 हैं, की संख्या है
मान िीलिए लक 𝐿1, समीकरर्पं (equations ) 2𝑥+3𝑦+𝑧=4 और 𝑥+2𝑦+𝑧=5 द्वारा लिये गये समतिपं ( planes ) की प्रलतच्छ े िन रेखा ( line of intersection ) है | मान िीलिए लक 𝐿2 िह रेखा है िप लबंिु 𝑃(2,−1,3) से गुिरती है और 𝐿1 क े समांतर (parallel) है | मान िीलिए लक 𝑀, समीकरर् 2𝑥+𝑦−2𝑧=6 द्वारा लिये गये समति (plane ) कप िशाणता है | मान िीलिए लक रेखा 𝐿2 , समति 𝑀 से लबंिु 𝑄 पर लमिती है | मान िीलिए लक 𝑃 से समति 𝑀 पर डािे गये िंब का पाि ( foot of the perpendicular ) 𝑅 है | तब लनम्नलिस्खत कर्नपं में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?
मान िीलिए लक ℕ सभी प्राक ृ त संख्याओं (natural numbers ) के समुच्चय (set) कप िशाणता है, और ℤ सभी पूर्ाांकपं (integers ) के समुच्चय कप िशाणता है | र्िनपं (functions) 𝑓:ℕ→ℤ और 𝑔:ℤ→ℕ िप 𝑓(𝑛)={(𝑛+1)/2 यलि 𝑛 लििम (odd) है , (4−𝑛)/2 यलि 𝑛 सम (even ) है , और 𝑔(𝑛)={3+2𝑛 यलि 𝑛 ≥ 0 है , −2𝑛 यलि 𝑛 < 0 है , द्वारा पररभालित हैं, पर लिचार कीलिए | सभी 𝑛∈ℕ क े लिए (𝑔∘𝑓)(𝑛)=𝑔(𝑓(𝑛)) , और सभी 𝑛∈ℤ क े लिए (𝑓∘𝑔)(𝑛)=𝑓(𝑔(𝑛)) पररभालित कीलिये | तब लनम्नलिस्खत कर्नपं में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?
मान िीलिए लक ℝ सभी िास्तलिक संख्याओं (real numbers ) के समुच्चय (set) कप िशाणता है | मान िीलिए लक 𝑧1=1+2𝑖 और 𝑧2=3𝑖 िप सस्िश्र संख्याए ँ (complex numbers ) हैं, िहाँ 𝑖=√−1 है | मान िीलिए लक 𝑆={(𝑥,𝑦)∈ℝ×ℝ∶ |𝑥+𝑖𝑦−𝑧1|=2|𝑥+𝑖𝑦−𝑧2| } है | तब लनम्नलिस्खत कर्नपं में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?
मान िीलिए लक समुच्चय (set) {𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓} पर उन सभी संबंिपं (relations ) 𝑅, िप स्वतुल्य (reflexive ) और समलमत (symmetric ) हैं, तर्ा लिनमें ठीक (exactly ) 10 अियि (element ) हैं, के समुच्चय कप 𝒮 से िशाणया िाता है | तब 𝒮 में अियिपं की संख्या (number of elements ) _________________ है |
मान िीलिए लक 𝑋𝑌-ति (𝑋𝑌-plane) में लकन्ीं िप लबंिुओं 𝑀 और 𝑁 क े लिए, 𝑀 से 𝑁 तक क े सलिश (vector ) कप 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ से िशाणया िाता है, तर्ा शून्य सलिश कप 0⃗ से िशाणया िाता है | मान िीलिए लक 𝑋𝑌-ति में 𝑃,𝑄 और 𝑅, तीन लभन्न लबंिु हैं | मान िीलिए लक 𝑆, लिभुि (triangle ) Δ𝑃𝑄𝑅 क े आंतररक भाग (inside ) में इस प्रकार का एक लबंिु है लक 𝑆𝑃⃗⃗⃗⃗ +5 𝑆𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ +6 𝑆𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ है | मान िीलिए लक 𝐸 और 𝐹, क्रमशः (respectively ) 𝑃𝑅 और 𝑄𝑅 क े मध्यलबंिु (mid-points ) हैं | तब रेखाखंड (line segment ) 𝐸𝐹 की िंबाई रेखाखंड (line segment ) 𝐸𝑆 की िंबाई का मान _________________ है | खंड 3 (अधिकतम अंक : 24) • इस खंड में छह (06) प्रश् न हैं | • प्रत्येक प्रश् न का उत्तर एक संख्यात्मक मान (NUMERICAL VALUE) है। • प्रत्येक प्रश् न क े लिए , उत्तर प्रलिि करने क े लिए लनलिणि थर्ान पर माउज़ (MOUSE) और ऑन -स्क्रीन (ON-SCREEN) िचुणअि न्यूमेररक कीपैड ( VIRTUAL NUMERIC KEYPAD) का उपयपग करक े उत्तर का सही संख्यात्मक मान प्रलिि करें। • यलि संख्यात्मक मान में िप से अलिक िशमिि थर्ान हैं , तप मान कप दो (02) िशमिि थर्ानपं तक समेटें / शून्ांत (TRUNCATE/ROUND -OFF) करें । • प्रत्येक प्रश् न क े उत्तर का मूल्ांकन धनम्न योजना क े अनुसार होगा : पूर्ण अंक : +4 यलि लनलिणि थर्ान पर क े िि सही संख्यात्मक मान प्रलिि लकया गया है | शून्य अंक : 0 अन्य सभी पररस्थर्लतयपं में |
मान िीलिए लक 𝑆 , उन सभी सात अंकपं िािी संख्याओं (numbers ) का समुच्चय (set) है िप अंकपं 0, 1 और 2 से बनायी िा सकती हैं | उिाहरर् क े लिए, 𝑆 में संख्या 2210222 है, परन्तु 𝑆 में संख्या 0210222 नह ं है | तब 𝑆 में ऐसे सभी अियिपं (elements ) 𝑥 , लिसमें अंकपं 0 और 1 में से कम से कम एक अंक ठीक (exactly ) िप बार आता है, की संख्या _________________ है |
मान िीलिए लक 𝛼 और 𝛽 िह िास्तलिक संख्याए ँ (real numbers ) हैं लक lim 𝑥→0 1 𝑥3(𝛼 2∫1 1−𝑡2𝑑𝑡+𝛽𝑥cos𝑥 𝑥 0)=2 है | तब 𝛼+𝛽 का मान _________________ है |
मान िीलिए लक ℝ सभी िास्तलिक संख्याओं (real numbers ) के समुच्चय (set) कप िशाणता है | मान िीलिए लक 𝑓:ℝ→ℝ एक इस प्रकार का र्िन (function ) है लक सभी 𝑥∈ℝ क े लिए 𝑓(𝑥)>0 है , और सभी 𝑥,𝑦∈ℝ क े लिए 𝑓(𝑥+𝑦)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) है | मान िीलिए लक िास्तलिक संख्याए ँ 𝑎1,𝑎2,…,𝑎50 एक समांतर श्रेर्ी (arithmetic progression ) में हैं | यलि 𝑓(𝑎31)=64𝑓(𝑎25) है , और ∑𝑓(𝑎𝑖)=3(225+1)50 𝑖=1 है, तब ∑𝑓(𝑎𝑖)30 𝑖=6 का मान _________________ है |
सभी 𝑥>0 क े लिए , मान िीलिए लक 𝑦1(𝑥),𝑦2(𝑥), और 𝑦3(𝑥) इस प्रकार क े र्िन (functions ) हैं िप क्रमशः 𝑑𝑦1 𝑑𝑥−(sin𝑥)2𝑦1=0, 𝑦1(1)=5 , 𝑑𝑦2 𝑑𝑥−(cos𝑥)2𝑦2=0,𝑦2(1)=1 3 , 𝑑𝑦3 𝑑𝑥−(2−𝑥3 𝑥3)𝑦3 =0, 𝑦3(1)=3 5𝑒 कप संतुि करते हैं | तब lim 𝑥→0+𝑦1(𝑥)𝑦2(𝑥)𝑦3(𝑥)+2𝑥 𝑒3𝑥sin(𝑥) बराबर _________________ है | खंड 4 (अधिकतम अंक : 12) • इस खंड में त न (03) सूची-सुमेिन ( Matching List) सेट्स ( sets) हैं। • प्रत्येक सूची -सुमेिन सेट में एक (01) एकालिक लिकल्प प्रश् न (Multiple Choice Question) है। • प्रत्येक सूची -सुमेिन सेट में दो सूलचयाँ हैं: सूच -I और सूच -II • सूच -I में चार (04) प्रलिलियाँ ( P), (Q), (R ) और ( S) हैं एिं सूची -II में पााँच (05) प्रलिलियाँ (1) , (2), (3), (4) और (5) हैं। • प्रत्येक एकालिक लिकल्प प्रश् न में सूच -I और सूच -II पर आिाररत चार लिकल्प लिए गए हैं और इन लिकल्पपं में से क े वल एक लिकल्प ही एकालिक लिकल्प प्रश् न की शतण पूरा करता है। • प्रत्येक प्रश् न के उत्तर का मूल्ांकन धनम्न योजना के अनुसार होगा : पूर्ण अंक : +4 यलि लसर्फ ण सही लिकल्प कप ही चुना गया है। शून्य अंक : 0 यलि कपई भी लिकल्प नहीं चुना गया है (अर्ाणत् प्रश् न अनुत्तररत है) | ऋर् अंक : −1 अन्य सभी पररस्थर्लतयपं में |
लनम्नलिस्खत बारंबारता बंटन (frequency distribution) पर लिचार कीलिये : मान (Value ) 4 5 8 9 6 12 11 बारंबारता (Frequency ) 5 𝑓1 𝑓2 2 1 1 3 मान िीलिए लक बारंबारताओं का यपग 19 है और बारंबारता बंटन की मास्ध्यका (median) 6 है | लिये गए बारंबारता बंटन क े लिए, मान िीलिए लक 𝛼 माध्य क े सापेक्ष माध्य लिचिन (mean deviation about the mean ) कप िशाणता है , 𝛽 मास्ध्यका क े सापेक्ष माध्य लिचिन (mean deviation about the median ) कप िशाणता है, और 𝜎2 प्रसरर् (variance ) कप िशाणता है | सूची-I (List-I) की प्रत्येक प्रलिलि (entry) का सूची -II (List-II) की सही प्रलिलि से लमिान कीलिये और सही लिकल्प का चयन करें | सूच -I सूच -II (P) 7𝑓1+9𝑓2 बराबर (1) 146 (Q) 19𝛼 बराबर (2) 47 (R) 19𝛽 बराबर (3) 48 (S) 19𝜎2 बराबर (4) 145 (5) 55
मान िीलिए लक ℝ सभी िास्तलिक संख्याओं (real numbers ) के समुच्चय (set) कप िशाणता है | लकसी भी िास्तलिक संख्या 𝑥 क े लिए, मान िीलिए लक 𝑥 से छपटा या उसक े बराबर महत्तम पूर्ाांक (greatest integer less than or equal to) कप [𝑥] से िशाणते हैं | मान िीलिए लक 𝑛 एक प्राक ृ त संख्या (natural number ) कप िशाणता है | सूची-I (List-I) की प्रत्येक प्रलिलि (entry) का सूची -II (List-II) की सही प्रलिलि से लमिान कीलिये और सही लिकल्प का चयन करें | सूच -I सूच -II (P) 𝑛 का न्यूनतम मान (minimum value ), लिसक े लिए अंतराि (interval ) [1,2] में र्िन (function ) 𝑓(𝑥)=[10𝑥3−45𝑥2+60𝑥+35 𝑛] संतत (continuous) है, है (1) 8 (Q) 𝑛 का न्यूनतम मान लिसक े लिए, ℝ पर, 𝑔(𝑥)=(2𝑛2−13𝑛−15)(𝑥3+3𝑥), 𝑥∈ℝ, एक ििणमान र्िन (increasing function ) है, है (2) 9 (R) सबसे छपटी प्राक ृ त संख्या 𝑛, िप 5 से अलिक है और लिसक े लिए 𝑥=3, ℎ(𝑥)=(𝑥2−9)𝑛(𝑥2+2𝑥+3) का एक थर्ानीय लनम्नतम का लबंिु (point of local minima ) है, है (3) 5 (S) ऐसे सभी 𝑥0∈ℝ की संख्या , लक 𝑥0 पर 𝑙(𝑥)=∑(sin|𝑥−𝑘|+cos|𝑥−𝑘+1 2|)4 𝑘=0,𝑥∈ℝ , (4) 6 अिकिनीय (differentiable ) नह ं है, है (5) 10
मान िीलिए लक 𝑤⃗⃗ =𝑖̂+𝑗̂−2𝑘̂ है, तर्ा 𝑢⃗ और 𝑣 िप इस प्रकार क े सलिश (vector ) हैं लक 𝑢⃗ ×𝑣 = 𝑤⃗⃗ और 𝑣 ×𝑤⃗⃗ =𝑢⃗ हैं | मान िीलिए लक 𝛼,𝛽,𝛾, और 𝑡 इस प्रकार की िास्तलिक संख्याए ँ (real number s) हैं लक 𝑢⃗ =𝛼𝑖̂+𝛽𝑗̂+𝛾𝑘̂, −𝑡 𝛼+𝛽+𝛾=0, 𝛼−𝑡 𝛽+𝛾=0, और 𝛼+𝛽−𝑡 𝛾=0 हैं | सूची-I (List-I) की प्रत्येक प्रलिलि (entry) का सूची -II (List-II) की सही प्रलिलि से लमिान कीलिये और सही लिकल्प का चयन करें | सूच -I सूच -II (P) |𝑣 |2 बराबर (1) 0 (Q) यलि 𝛼=√3 है, तब 𝛾2 बराबर (2) 1 (R) यलि 𝛼=√3 है, तब (𝛽+𝛾)2 बराबर (3) 2 (S) यलि 𝛼=√2 है, तब 𝑡+3 बराबर (4) 3 (5) 5
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