JEE Advanced 2023 Paper 1 (Hindi)

माना िक (0,1) (1,2) (3,4)S एवं {0,1,2,3}T है | तब िनɻ म Ő से कौन सा(स े) कथन सȑ है(हœ)?

1. S से T तक अन ंततः अनेक (infinitely many) फलन ह œ
2. S से T तक अन ंततः अनेक (infinitely many) िनर ंतर वध Ŋमान (strictly increasing) फलन ह œ
3. S से T तक स ंतत (continuous) फलनो ं की स ंƥा 120 या उसस े कम ह ै
4. S से T तक Ůȑ ेक संतत फलन अवकलनीय (differentiable) ह ै

माना िक 1T एवं 2T दीघŊवृत (ellipse) 22 :163xyE एवं परवलय (parabola) 2:1 2Pyx की दो िभɄ उभयिनʿ ˙श Ŋ रेखाएं (distinct common tangents) ह œ | माना िक ˙श Ŋ रेखा 1T, P एवं E को Ţमश ः िब̢दुओं 1A एवं 2A पर ˙श Ŋ करती ह ै और ˙श Ŋ रेखा 2T, P एवं E को Ţमश ः िब̢दुओं 4A एवं 3A पर ˙श Ŋ करती ह ै | तब िनɻ म Ő से कौन सा(स े) कथन सȑ ह ै(हœ)?

1. चत ुभुŊज 1234AAAA का Ɨ ेũफल 35 वगŊ इकाई ह ै
2. चत ुभुŊज 1234AAAA का Ɨ ेũफल 36 वगŊ इकाई ह ै
3. ˙श Ŋ रेखाएं 1T एवं 2T, x-अƗ को िब ंदु (3 , 0 ) पर िमलती ह œ
4. ˙श Ŋ रेखाएं 1T एवं 2T, x-अƗ को िब ंदु (6 , 0 ) पर िमलती ह œ

माना िक फलन :[0,1] [0,1]f , 3 251 7()39 3 6xfx x x से पįरभािषत ह ै | वगा Ŋकार Ɨ ेũ (square region) [0,1] [0,1]S पर िवचार कीिजए | माना िक {( , ) : ( )}Gx y S y f x हįरत Ɨ ेũ (green region) एव ं {( , ) : ( )}Rxy S y f x लाल Ɨ ेũ (red region) कहलाता ह ै | मान लीिजय े की [0,1]h की ऊ ंचाई (height) पर खी ंची गई Ɨ ैितज र ेखा (horizontal line) {( , ) : [0,1]}hLx h S x  है | तब िनɻ म Ő से कौन सा (स े) कथन सȑ ह ै(हœ)?

1. एक ऐसा 12,43h है िक रेखा hL के ऊपर क े हįरत Ɨ ेũ का Ɨ ेũफल र ेखा hL के नीचे के हįरत Ɨ ेũ के Ɨेũफल क े बराबर है
2. एक ऐसा 12,43h है िक रेखा hL के ऊपर क े लाल Ɨ ेũ का Ɨ ेũफल र ेखा hL के नीचे के लाल Ɨ ेũ के Ɨेũफल क े बराबर है
3. एक ऐसा 12,43h है िक रेखा hL के ऊपर क े हįरत Ɨ ेũ का Ɨ ेũफल र ेखा hL के नीचे के लाल Ɨ ेũ के Ɨेũफल क े बराबर है
4. एक ऐसा 12,43h है िक रेखा hL के ऊपर क े लाल Ɨ ेũ का Ɨ ेũफल र ेखा hL के नीचे के हįरत Ɨ ेũ के Ɨेũफल क े बराबर ह ै खंड 2 (अिधकतम अ ंक: 12)  इस ख ंड मŐ चार (04) Ů̻ न हœ |  Ůȑेक Ů̻ न के िलए चार िवकʙ (A),
5. ,
6. और
7. िदए गए ह œ | इन चार िवकʙो ं मŐ से केवल एक िवकʙ ही सही उȅर ह ै |  Ůȑेक Ů̻ न के िलए िदए Šए िवकʙो ं मŐ से सही उȅर स े संबंिधत िवकʙ को च ुिनए |  Ůȑेक Ů̻ न के उȅर का म ूʞांकन िनɻ योजना क े अनुसार होगा : पूणŊ अंक : ൅3 यिद िसफ Ŋ सही िवकʙ ही च ुना गया ह ै | श ूɊ अंक : 0 यिद कोई भी िवकʙ नही ं चुना गया ह ै (अथा Ŋत् Ů̻ न अन ुȅįरत ह ै) | ऋण अ ंक : െ1 अɊ सभी पįरİ˕ितयो ं मŐ

माना िक फलन :(0,1)f  इस तरह स े पįरभािषत ह ै िक ()fxn यिद 11,1xnn  जहाँ n है | माना िक फलन :(0,1)g  इस Ůकार ह ै िक सभी (0,1)x के िलए 21() 2x xtdt g x xt है | तब 0lim ( ) ( ) xfxgx 

1. का अİˑȕ नहीं है
2. 1 क े बराबर है
3. 2 क े बराबर है
4. 3 क े बराबर है

माना िक Q वह घन (cube) ह ै िजसक े शीषŊ िब̢दुओं (vertices) का सम ुDŽय 3 123 123(,,) : ,, { 0 , 1 }xxx xxx  है | माना िक F उन सभी बारह र ेखाओ ं का सम ुDŽय ह ै जो िक घन Q के छः फलको ं (faces) पर बन े िवकणŘ (diagonals) को अ ंतिवŊʼ करती ह œ | माना िक S उन सभी चार र ेखाओ ं का सम ुDŽय ह ै जो िक घन Q के मुƥ िवकणŘ (main diagonals) को अ ंतिवŊʼ करती ह œ ; उदाहरण क े िलए शीषŘ (0,0,0) और (1,1,1) से गुजरने वाली र ेखा S मŐ है | माना िक र ेखाओ ं 1 एवं 2 के िलए, 12(,)d उनक े बीच िक Ɋ ूनतम द ूरी (shortest distance) को िनŝिपत करता ह ै | तब 12(,)d का अिधकतम मान, जब 1, F पर िवचįरत (varies) होता ह ै एवं 2, S पर िवचįरत होता ह ै, है (A) 1 6 ( B ) 1 8 ( C ) 1 3 ( D ) 1 12

माना िक 22 (,) : 182 0{xyXx y    एवं 25}yx है | सम ुDŽय X मŐ से तीन िभɄ िब ंदु , PQ एवं R या̊İDžक ŝप स े (randomly) च ुने जाते हœ | तब , PQ एवं R एक ऐसा िũभ ुज बनात े हœ िजसका Ɨ ेũफल एक धनाȏक प ूणाōक (positive integer) ह ै, की Ůाियकता ह ै (A) 71 220 ( B ) 73 220 ( C ) 79 220 ( D ) 83 220

माना िक परवलय (parabola) 24ya x, जहा ँ 0a है, परP एक िब ंदु है | िबंदु Pपर परवलय का अिभलɾ (normal) x-अƗ स े िबंदु Q पर िमलता ह ै | िũभ ुज PFQ, जहा ँ F इस परवलय िक नािभ (focus) ह ै, का Ɨ ेũफल 120 ह ै | यिद अिभलɾ की ढाल (slope) m एवं a दोनो धनाȏक प ूणाōक (positive integer) ह œ, तब य ुƵ (pair) (, )am है (A) (2,3) ( B ) (1,3) ( C ) (2,4) ( D ) (3,4)

माना िक x के िलए 1tan ( ) ,22x है | तब सम ुDŽय 33,, ,22 2 2 2 2                   मŐ समीकरण 11c o s ( 2 ) 2 t a n( t a n)xx के वाˑिवक हलो ं की स ंƥा ह ै

माना िक 2n एक Ůाक ृत संƥा (natural number) ह ै एवं फलन :[0,1]f  इस Ůकार पįरभािषत ह ै 1(1 2 ) if 02 132( 2 1 ) i f 24()314( 1 ) i f 4 11 i f 11nn x xn nn x xnnfx nn x xnn nnx xnn          यिद n इस Ůकार ह ै िक वŢो ं 0x, 1x, 0y एवं ()yf x से िघरे Ɨेũ का Ɨ ेũफल 4 ह ै तब फलन f का महȅम मान (maximum value) ह ै खंड 3 (अिधकतम अ ंक: 24)  इस ख ंड मŐ छह (06) Ů̻ न हœ |  Ůȑेक Ů̻ न का उȅर एक गैर-ऋणाȏक प ूणाōक (NON-NEGATIVE INTEGER) है |  Ůȑेक Ů̻ न के िलए उȅर को दशा Ŋने वाले सही प ूणाōक को माउज़ (MOUSE) और ऑन ˌीन (ON- SCREEN) वच ुŊअल न ुमेįरक कीप ैड (VIRTUAL NUMERIC KEYPAD) क े Ůयोग स े उȅर क े िलए िचİɎत ˕ान पर Ůिवʼ कर Ő |  Ůȑेक Ů̻ न के उȅर का म ूʞांकन िनɻ योजना क े अनुसार होगा : पूणŊ अंक : ൅4 यिद िसफ़ Ŋ सही प ूणाōक (integer) ही Ůिवʼ िकया गया ह ै | शूɊ अंक : 0 अɊ सभी पįरİ˕ितयो ं मŐ |

माना िक  75 57r  वह (2 )r अंको वाली संƥा ह ै िजसका पहला एव ं अंितम अ ंक 7 है तथा बाकी क े r अंक 5 हœ | योगफल 98 77 757 7557 75 57S    पर िवचार कीिजए | यिद 99 75 57,mSn जहाँ m एवं n, 3000 स े छोटी Ůाक ृत संƥाएं (natural numbers) ह œ, तब mn का मान ह ै

माना िक 1967 1686 sin:73 c o siAi है | यिद A मŐ केवल एक धनाȏक प ूणाōक (positive integer) n है, तब n का मान ह ै

माना िक P समतल (plane) 3231 6xyz है, एवं माना िक 22 2ˆ ˆˆ :1{Si j k       एवं (,,) की समतल P से दूरी 7 2 है} है | माना िक S मŐ तीन िभɄ सिदश (distinct vectors) ,uv एवं w इस Ůकार ह œ िक ||uv = ||vw = ||wu है | माना िक ,V उस समा ंतर षट ्फलक (parallelepiped) का आयतन ह ै िजसकी भ ुजाएं (sides) सिदशो ं ,uv एवं w Ȫारा िनŜिपत ह ै | तब 80 3V का मान ह ै

माना िक a एवं b दो श ूɊेतर (nonzero) वाˑिवक स ंƥाएं (real numbers) ह œ | यिद 4 270 27axbx के Ůसार (expansion) म Ő 5x का ग ुणांक (coefficient), 7 21axbx के Ůसार म Ő 5x के गुणांक के बराबर ह ै, तब 2b का मान ह ै

माना िक , एवं  वाˑिवक स ंƥाएं (real numbers) ह œ | िनɻ र ैİखक समीकरण िनकाय (system of linear equations) पर िवचार कीिजए | 27 11 23xy z xz xy z    List-I की Ůȑ ेक Ůिविʼ (entry) का List-II की सही Ůिविʼयो ं (entries) स े िमलान कीिजय े | List-I List-II (P) यिद 1(7 3)2 एवं 28, तब िनकाय का(क े) (1) एक अिȪतीय हल (unique solution) ह ै (Q) यिद 1(7 3)2 एवं 28, तब िनकाय का(क े) (2) कोई हल नही ं है (R) यिद 1(7 3)2 जहाँ 1 एवं 28, तब िनकाय का(क े) (3) अन ंत हल ह œ (S) यिद 1(7 3)2 जहाँ 1 एवं 28, तब िनकाय का(क े) (4) 11x, 2y एवं 0z एक हल ह ै ( 5 ) 15x, 4y एवं 0z एक हल ह ै सही िवकʙ है:

1. () ( 3 ) () ( 2 ) () ( 1 ) () ( 4 )PQRS
2. () ( 3 ) () ( 2 ) () ( 5 ) () ( 4 )PQRS
3. () ( 2 ) () ( 1 ) () ( 4 ) () ( 5 )PQRS
4. () ( 2 ) () ( 1 ) () ( 1 ) () ( 3 )PQR S  खंड 4 (अिधकतम अ ंक: 12)  इस ख ंड मŐ चार (04) सूची-सुमेलन (Matching List) स ेट्स (sets) ह œ।  Ůȑेक सूची-सुमेलन (set) म Ő एक (01) एकािधक िवकʙ Ů̻ न (Multiple Choice Question) ह œ।  Ůȑेक सूची-सुमेलन स ेट मŐ दो सूिचयाँ हœ: सूची-I और सूची-II  सूची-I मŐ चार (04) Ůिविʼया ँ (P), (Q), (R) और (S) ह œ एवं सूची-II म Ő पाँच (05) Ůिविʼया ँ (1), (2), (3), (4) और (5) ह œ।  Ůȑेक एकािधक िवकʙ Ů̻ न मŐ सूची-I और सूची-II पर आधाįरत चार िवकʙ िदए गए ह œ और इन िवकʙो ं मŐ से केवल एक िवकʙ ही एकािधक िवकʙ Ů̻ न की शत Ŋ पूरा करता ह ै।  Ůȑेक Ů̻ न के उȅर का म ूʞांकन िनɻ योजना क े अनुसार होगा : पूणŊ अंक : ൅3 यिद िसफ़ Ŋ सही िवकʙ को ही च ुना गया ह ै। शूɊ अंक : 0 यिद कोई भी िवकʙ नही ं चुना गया ह ै (अथा Ŋत् Ů̻ न अन ुȅįरत ह ै)| ऋण अ ंक : െ1 अɊ सभी पįरİ˕ितयो ं मŐ |

िदए गए िनɻ आ ँकड़ों पर बार ंबारता ब ंटन के साथ (data with frequency distribution) िवचार कर Ő | 381 11 054 523 244i ix f List-I की Ůȑ ेक Ůिविʼ (entry) का List-II की सही Ůिविʼयो ं (entries) स े िमलान कीिजय े | List-I List-II (P) उपरोƅ आ ँकड़ों का माȯ (mean) ह ै (1) 2.5 (Q) उपरोƅ आ ँकड़ों की माİȯका (median) ह ै (2) 5 (R) उपरोƅ आ ँकड़ों का माȯ क े सापेƗ माȯ िवचलन (mean deviation about the mean) ह ै (3) 6 (S) उपरोƅ आ ँकड़ों का माİȯका क े सापेƗ माȯ िवचलन (mean deviation about the median) है (4) 2.7 ( 5 ) 2.4 सही िवकʙ ह ै:

1. () ( 3 ) () ( 2 ) () ( 4 ) () ( 5 )PQRS
2. () ( 3 ) () ( 2 ) () ( 1 ) () ( 5 )PQRS
3. () ( 2 ) () ( 3 ) () ( 4 ) () ( 1 )PQRS
4. () ( 3 ) () ( 3 ) () ( 5 ) () ( 5 )PQRS

माना िक 1 एवं 2 Ţमश ः 1ˆˆˆ()ri j k  एवं 2ˆˆˆˆ() ()rj k i k   रेखाएं हœ | माना िक X उन सभी समतलो ं (planes) H का सम ुDŽय ह ै जो रेखा 1 को अ ंतिवŊʼ (contain) करत े हœ | समतल H के िलए माना िक ()dH , रेखा 2 के िब̢दुओं और H के बीच की Ɋ ूनतम स ंभव (smallest possible) द ूरी है | मान लीिजय े िक ()dH का महȅम स ंभव मान (maximum possible value), जब H समुDŽय X के सभी समतलो ं पर िवचरण (vary) करता ह ै, 0()dH है, जहा ँ समतल 0H समुDŽय X मŐ है | List-I की Ůȑ ेक Ůिविʼ (entry) का List-II की सही Ůिविʼयो ं (entries) स े िमलान कीिजय े | List-I List-II (P) 0()dH का मान ह ै (1) 3 (Q) िब ंदु (0,1,2) की 0H से दूरी है (2) 1 3 (R) म ूल िबंदु की 0H से दूरी है (3) 0 (S) म ूल िबंदु की समतल yz, 1xएवं 0H के ŮितDž ेदन स े दूरी है (4) 2 (5) 1 2 सही िवकʙ ह ै:

1. () ( 2 ) () ( 4 ) () ( 5 ) () ( 1 )PQRS
2. () ( 5 ) () ( 4 ) () ( 3 ) () ( 1 )PQRS
3. () ( 2 ) () ( 1 ) () ( 3 ) () ( 2 )PQRS
4. () ( 5 ) () ( 1 ) () ( 4 ) () ( 2 )PQRS

माना िक 32|| 2 4 80zz z  को स ंतुʼ करन े वाली एक सİʃŵ स ंƥा (complex number) z है, जहाँ z सİʃŵ स ंƥा z का स ंयुƵी (conjugate) ह ै | माना िक z का काʙिनक भाग (imaginary part) अशूɊ (nonzero) ह ै | List-I की Ůȑ ेक Ůिविʼ (entry) का List-II की सही Ůिविʼयो ं (entries) स े िमलान कीिजय े | List-I List-II (P) 2||z (1) 12 क े बराबर ह ै (Q) 2||zz (2) 4 क े बराबर ह ै (R) 22|| | |zz z (3) 8 क े बराबर ह ै (S) 2|1 |z (4) 10 क े बराबर ह ै ( 5 ) 7 क े बराबर है सही िवकʙ ह ै:

1. () ( 1 ) () ( 3 ) () ( 5 ) () ( 4 )PQ R S
2. () ( 2 ) () ( 1 ) () ( 3 ) () ( 5 )PQRS
3. () ( 2 ) () ( 4 ) () ( 5 ) () ( 1 )PQRS
4. () ( 2 ) () ( 3 ) () ( 5 ) () ( 4 )PQRS