JEE Advanced 2022 Paper 1 (Hindi)

प्रधतलोम धिकोर्धमधतय फलनों ( inverse trigonometric functions ) क े क े वल मचख्य मानों ( only principal values ) पर धवर्ार करते हु ए, 3 2 cos⁻¹√2 2+π2 + 1 4 sin−12√2 π 2+π2 + tan−1√2 π का मान __________ है |

माना धक 𝛼 एक िनात्मक वास्तधवक संख्या (positive real number ) है | माना धक फलनों (functions ) 𝑓:ℝ→ℝ एवं 𝑔:(𝛼,∞)→ℝ को 𝑓(𝑥)=sin( 𝜋𝑥 12 ) एवं 𝑔(𝑥)=2 log e ( √𝑥−√𝛼 ) log e ( 𝑒√𝑥−𝑒√𝛼 ) द्वारा पररभाधित धकया र्ाता है | तब lim 𝑥→𝛼+𝑓(𝑔(𝑥)) का मान _____________ है |

महामारी क े एक अध्ययन में 900 व्यन्हियों के आँकड़े (data) एकधित धकये गये | यह पाया गया धक 190 व्यन्हियों को बचखार क े लक्षर् थे , 220 व्यन्हियों को खांसी क े लक्षर् थे , 220 व्यन्हियों को श्वासरोग क े लक्षर् थे , 330 व्यन्हियों को बचखार या खांसी या दोनों क े लक्षर् थे , 350 व्यन्हियों को खांसी या श्वासरोग या दोनों क े लक्षर् थे , 340 व्यन्हियों को बचखार या श्वासरोग या दोनों क े लक्षर् थे , 30 व्यन्हियों को तीनो ( बचखार, खांसी एवं श्वासरोग ) क े लक्षर् थे | यधद इन 900 व्यन्हियों से एक व्यन्हि को याद्रन्हिक रूप (randomly ) से र्चना र्ाता है, त ब उस र्चने गये व्यन्हि को अधिकतम (at most ) एक लक्षर् होने की प्राधयकता ( probability ) _____________ है |

माना धक 𝑧 एक शून्येतर काल्पधनक भाग (non-zero imaginary part ) वाली सन्हिश्र संख्या (complex number ) है | यधद 2+3𝑧+4𝑧2 2−3𝑧+4𝑧2 एक वास्तधवक संख्या ( real number ) है, तब |𝑧|2 का मान _____________ है |

माना धक 𝑧̅ एक सन्हिश्र संख्या (complex number ) 𝑧 क े सन्हिश्र संयचग्मी ( complex conjugate ) को धनरुधपत करता है एवं 𝑖=√−1 है | सन्हिश्र संख्याओं क े सिचर्य (set of complex numbers ) में, समीकरर् 𝑧̅−𝑧2=𝑖(𝑧̅+𝑧2) क े धभन्न मूलों ( distinct roots ) की संख्या _____________ है |

माना धक 𝑙1,𝑙2,…,𝑙100 सावुअंतर (common difference) 𝑑1 वाली एक समांतर श्रेढ़ी (arithmetic progression) क े क्रमागत पद ( consecutive terms ) हैं, एवं माना धक 𝑤1,𝑤2,…,𝑤100 सावुअंतर (common difference) 𝑑2 वाली एक द ू सरी समांतर श्रेढ़ी (arithmetic progression) क े क्रमागत पद हैं, र्हाँ 𝑑1𝑑2=10 है | प्रत्येक 𝑖=1,2,…,100 क े धलए , माना धक 𝑅𝑖 एक आयत ( rectangle ) है धर्सकी लम्बाई 𝑙𝑖, र्ौड़ाई 𝑤𝑖 एवं क्षेिफल 𝐴𝑖 हैं | यधद 𝐴51−𝐴50=1000 है, तब 𝐴100−𝐴90 का मान ___________ है |

संवृत अन्तराल (closed interval ) [2022 ,4482 ] में अंको 0,2,3,4,6,7 से बनने वाले 4-अंकीय (4-digit) पूर्ाांकों (integers) की संख्या ____________ है |

माना धक 𝐴𝐵𝐶 एक धिभचर् (triangle) है धर्समे 𝐴𝐵=1, 𝐴𝐶=3 एवं ∠𝐵𝐴𝐶 =π 2 हैं | यधद धिज्या (radius) 𝑟>0 का एक वृत्त (circle) भचर्ाओं 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 को स्पशु करता है एवं धिभचर् 𝐴𝐵𝐶 क े परर वृत्त (circumcircle) को अंदर से स्पशु (touches internally) करता है , तब 𝑟 का मान ____________ है | खंड 2 (अधिकतम अंक : 24) • इस खंड में छह (06) प्रश् न हैं | • प्रत्येक प्रश् न के धलए चयर धवकल्प ( A),

1. ,
2. और
3. धदए गए हैं | इन र्ार धवकल्पों में से एक यय एक से अधिक धवकल्प सही उत्तर है (हैं) | • प्रत्येक प्रश् न क े धलए धदए हुए धवकल्पों में से सही उत्तर (उत्तरों) से संबंधित धवकल्प (धवकल्पों) को र्चधनए | • प्रत्येक प्रश् न क े उत्तर का मूल्ांकन धनम्न योर्ना क े अनचसार होगा : पूर्ु अंक : +4 यधद क े वल (सारे) सही धवकल्प (धवकल्पों) को र्चना गया है | आंधशक अंक : +3 यधद र्ारों धवकल्प सही हैं परन्तच क े वल तीन धवकल्पों को र्चना गया है | आंधशक अंक : +2 यधद तीन या तीन से अधिक धव कल्प सही हैं परन्तच क े वल दो धवकल्पों को र्चना गया है और दोनों र्चने हुए धवकल्प सही धवकल्प है | आंधशक अंक : +1 यधद दो या दो से अधिक धवकल्प सही हैं परन्तच क े वल एक धवकल्प को र्चना गया है और र्चना हुआ धवकल्प एक सही धवकल्प है | शून्य अंक : 0 यधद धकसी भी धवकल्प को नहीं र्चना गया है (अथाुत् प्रश् न अनचत्तररत है) | ऋर् अंक : −2 अन्य सभी पररन्हस्थधतयों में | • उदाहरर् : यधद धकसी प्रश् न के धलए क े वल धवकल्प ( A),
4. और
5. सही धवकल्प हैं, तब क े वल धवकल्प ( A),
6. और
7. र्चनने पर +4 अंक धमलेंगे; क े वल धवकल्प ( A) और
8. र्चनने पर +2 अंक धमलेंगे; क े वल धवकल्प ( A) और
9. र्चनने पर +2 अंक धमलेंगे; क े वल धवकल्प
10. और
11. र्चनने पर +2 अंक धमलेंगे; क े वल धवकल्प ( A) र्चनने पर +1 अंक धमलेंगे; क े वल धवकल्प ( B) र्चनने पर +1 अंक धमलेंगे; क े वल धवकल्प ( D) र्चनने पर +1 अंक धमलेंगे; कोई भी धवकल्प ना र्चनने पर (अथाुत् प्रश् न अनचत्तररत रहने पर) 0 अंक धमलेंगे; और अन्य धकसी धवकल्पों क े संयोर्न को र्चनने पर −2 अंक धमलेंगे |

समीकरर् (equation) ∫(log e 𝑥)12⁄ 𝑥(𝑎−(log e𝑥)32⁄)2𝑒 1𝑑𝑥=1, 𝑎∈(−∞,0)∪(1,∞) पर धवर्ार कीधर् ए | धनम्न कथनों में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

1. कोई भी 𝑎 उपरोि समीकरर् को संतचष्ट नह ं करता है
2. एक पूर्ाांक (integer) 𝑎 उपरोि समीकरर् को संतचष्ट करता है
3. एक अपररमेय संख्या (irrational number) 𝑎 उपरोि समीकरर् को संतचष्ट करता है
4. एक से ज्यादा 𝑎 उपरोि समीकरर् को संतचष्ट कर ते हैं

माना धक 𝑎1,𝑎2,𝑎3,… एक सावुअंतर (common difference) 8 वाली समांतर श्रेढ़ी (arithmetic progression ) है, र्हाँ 𝑎1=7 है | माना धक 𝑇1,𝑇2,𝑇3,… इस प्रकार से हैं धक 𝑇1=3 एवं सभी 𝑛≥1 क े धल ए 𝑇𝑛+1−𝑇𝑛=𝑎𝑛 है | तब धनम्न में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

1. 𝑇20=1604
2. ∑ 𝑇𝑘=1051020 𝑘=1
3. 𝑇30=3454
4. ∑ 𝑇𝑘=30 𝑘=1 35610

माना धक 𝑃1 एवं 𝑃2 , 𝑃1: 10𝑥+15𝑦+12𝑧−60=0 , 𝑃2: −2𝑥+5𝑦+4𝑧−20=0 द्वारा धदए गए दो समतल (plane s) हैं | धनम्न सरल रेखाओं (straight lines) में से कौन सी , ऐसे र्तचष्फलक (tetrahedron ) का एक धकनारा (edge) हो सक ती है (हैं), धर्सक े दो फलक (faces) 𝑃1 एवं 𝑃2 पर न्हस्थत हैं ?

1. 𝑥−1 0= 𝑦−1 0=𝑧−1 5
2. 𝑥−6 −5=𝑦 2=𝑧 3
3. 𝑥 −2=𝑦−4 5=𝑧 4
4. 𝑥 1=𝑦−4 −2=𝑧 3

माना धक 𝑆,एक धबंदच 𝑄 का 𝑟⃗=−(𝑡+𝑝)𝑖̂+𝑡𝑗̂+(1+𝑝)𝑘̂ द्वारा धदए गए समतल क े सापेक्ष प्रधतधबंब (reflection ) है, र्हाँ 𝑡, 𝑝 वास्तधवक प्रार्ल (real parameters) हैं एवं 𝑖̂,𝑗̂, 𝑘̂ तीन धनदेशांक अक्षों (coordinate axes ) की िनात्मक ( positive ) धदशाओं में एकक सधदश (unit vectors) हैं | यधद 𝑄 एवं 𝑆 क े न्हस्थधत सधदश ( position vectors) क्रमशः 10𝑖̂+15𝑗̂+20𝑘̂ एवं 𝛼𝑖̂+𝛽𝑗̂+𝛾𝑘̂ हैं, तब धनम्न में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

1. 3(𝛼+𝛽)=−101
2. 3(𝛽+𝛾)=−71
3. 3(𝛾+𝛼)=−86
4. 3(𝛼+𝛽+𝛾)=−121

परवलय (parabola ) 𝑦2=4𝑥 पर धवर्ार कीधर् ए | माना धक 𝑆 इस परवलय की नाधभ (focus) है | धबंदच 𝑃=(−2,1) से परवलय पर डाली गईं दो स्पशु रेखायें ( tangents ) परवलय को धबंदचओं 𝑃1 एवं 𝑃2 पर धमलती हैं | माना धक 𝑄1 एवं 𝑄2 क्रमशः रेखाओं 𝑆𝑃1 एवं 𝑆𝑃2 पर ऐसे धबंदच हैं धक 𝑃𝑄1, 𝑆𝑃1 पर लंब (perpendicular ) है, और 𝑃𝑄2, 𝑆𝑃2 पर लंब है | तब धनम्न में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

1. 𝑆𝑄1=2
2. 𝑄1𝑄2=3√10 5
3. 𝑃𝑄1=3
4. 𝑆𝑄2=1

माना धक |𝑀| एक वगु आव्यूह ( square matrix ) 𝑀 क े सारधर्क (determinant) को धनरुधपत करता है | माना धक फलन (function) 𝑔:[0,𝜋 2]→ℝ को 𝑔(𝜃)=√𝑓(𝜃)−1 +√𝑓(𝜋 2−𝜃)−1 द्वारा पररभाधित धकया र्ाता है, र्हाँ 𝑓(θ)=1 2|1 sin𝜃 1 −sin𝜃 1 sin𝜃 −1 −sin𝜃 1| + ||sin𝜋 cos(𝜃+𝜋 4) tan(𝜃−𝜋 4) sin(𝜃−𝜋 4) −cos𝜋 2log 𝑒(4 𝜋) cot(𝜃+𝜋 4) log 𝑒(𝜋 4) tan𝜋|| है | माना धक 𝑝(𝑥) एक ऐसा धद्वघातीय बहुपद (quadratic polynomial ) है धर्सक े मूल (roots) फलन 𝑔(𝜃) क े धनम्नतम (minimum) एवं उच्चतम (maximum) मान हैं, एवं 𝑝(2)=2−√2 है | तब धनम्न में से कौन सा (से) सत्य है (हैं) ?

1. 𝑝(3+√2 4)<0
2. 𝑝(1+3√2 4)>0
3. 𝑝(5√2−1 4)>0
4. 𝑝(5−√2 4)<0

धनम्न सूधर्यों पर धवर्ार कीधर् ए: सूच -I सूच -II (I) {𝑥∈[−2𝜋 3,2𝜋 3 ]: cos𝑥+sin𝑥=1} (P) में दो अवयव ( two elements) हैं (II) {𝑥∈[−5𝜋 18,5𝜋 18 ]: √3 tan3𝑥=1} (Q) में तीन अवयव ( three elements) हैं (III) {𝑥∈[−6𝜋 5,6𝜋 5 ]: 2 cos(2𝑥)=√3} (R) में र्ार अवयव ( four elements) हैं (IV) {𝑥∈[−7𝜋 4,7𝜋 4 ]: sin𝑥−cos𝑥=1} (S) में पांर् अवयव ( five elements) हैं (T) में छह अवयव ( six elements) हैं सही धवकल्प है:

1. (I)→(P); (II)→(S); (III)→(P); (IV)→(S)
2. (I)→(P); (II)→(P); (III)→(T); (IV)→(R)
3. (I)→(Q); (II)→(P); (III)→(T); (IV)→(S)
4. (I)→(Q); (II)→(S); (III)→(P); (IV)→(R) खंड 3 (अधिकतम अंक : 12) • इस खंड में चयर (04) सूर्ी-सचमेलन (Matching List) सेट्स (sets) हैं। • प्रत्येक सूर्ी -सचमेलन (set) में एक (01) एकाधिक धवकल्प प्रश्न (Multiple Choice Question) हैं। • प्रत्येक सूर्ी -सचमेलन सेट में दो सूधर्याँ हैं: सूच -I और सूच -II • सूच -I में चयर (04) प्रधवधष्टयाँ (I), (II), (III) और (IV) हैं एवं सूर्ी -II में पयाँच (05) प्रधवधष्टयाँ (P), (Q), (R), (S) और (T) हैं। • प्रत्येक एकाधिक धवकल्प प्रश्न में सूच -I और सूच -II पर आिाररत र्ार धवकल्प धदए गए हैं और इन धवकल्पों में से क े वल एक धवकल्प ही एकाधिक धवकल्प प्रश्न की शतु पूरा करता है। • प्रत्येक प्रश् न क े उत्तर का मूल्ांकन धनम्न योर्ना क े अनचसार होगा : पूर्ु अंक : +3 यधद सिर्फ ़ िही सिकल्प को ही चुना गया है । शून्य अंक : 0 यधद कोई भी धवकल्प नहीं र्चना गया है (अथाुत् प्रश्न अनचत्तररत है) | ऋर् अंक : −1 अन्य सभी पररन्हस्थधतयों में |

दो न्हखलाड़ी 𝑃1 एवं 𝑃2 एक दचसरे क े धवरुद्ध एक खेल खेलते हैं | इस खेल क े प्रत्येक राउंड (round) में दोनों न्हखलाड़ी एक-एक बार एक न्या य्य पासा (fair die) उछालते हैं, र्हाँ पासे क े छह फलकों (six faces) पर छह धभन्न संख्यायें (six distinct numbers) हैं | माना धक 𝑥 एवं 𝑦 क्रमशः 𝑃1 एवं 𝑃2 द्वारा पासे क े उछाले र्ाने पर प्रकट होने वाली संख्या ओं को धनरुधपत करते हैं | यधद 𝑥>𝑦 होता है , तब 𝑃1 को 5 अंक धमलता है एवं 𝑃2 को 0 अंक धम लता है | यधद 𝑥=𝑦 होता है , तब प्रत्येक न्हखलाड़ी को 2 अंक धमल ते हैं | यधद 𝑥<𝑦 होता है , तब 𝑃1 को 0 अंक धमलता है एवं 𝑃2 को 5 अंक धमल ता है | माना धक 𝑖-वाँ (𝑖𝑡ℎ) राउंड खेलने क े बाद, 𝑋𝑖 एवं 𝑌𝑖 क्रमशः 𝑃1 एवं 𝑃2 क े द्वारा प्राप्त क च ल अंक हैं | सूच -I सूच -II (I) (𝑋2≥𝑌2) होने की प्राधयकता (probability) (P) 3 8 है (II) (𝑋2>𝑌2) होने की प्राधयकता (Q) 11 16 है (III) (𝑋3=𝑌3) होने की प्राधयकता (R) 5 16 है (IV) (𝑋3>𝑌3) होने की प्राधयकता (S) 355 864 है (T) 77 432 है सही धवकल्प है :

1. (I)→(Q); (II)→(R); (III)→(T); (IV)→(S)
2. (I)→(Q); (II)→(R); (III)→(T); (IV)→(T)
3. (I)→(P); (II)→(R); (III)→(Q); (IV)→(S)
4. (I)→(P); (II)→(R); (III)→(Q); (IV)→(T)

माना धक 𝑝,𝑞 एवं 𝑟 शून्येतर वास्तधवक संख्यायें ( nonzero real numbers ) हैं र्ो एक हरात्मक श्रेढ़ी (harmonic progression ) के क्रमशः 10वाँ, 100वाँ एवं 1000 वाँ पद (terms ) हैं | रैन्हखक समीकरर्ों क े धनकाय (system of linear equations) 𝑥+𝑦+𝑧=1 10𝑥+100 𝑦+1000 𝑧=0 𝑞𝑟 𝑥+𝑝𝑟 𝑦+𝑝𝑞 𝑧=0 पर धवर्ार कीधर् ए | सूच -I सूच -II (I) यधद 𝑞 𝑟=10 है, तब रैन्हखक समीकरर्ों क े धनकाय का (P) हल 𝑥=0, 𝑦=10 9, 𝑧=−1 9 है (II) यधद 𝑝 𝑟≠100 है, तब रैन्हखक समीकरर्ों क े धनकाय का (Q) हल 𝑥=10 9, 𝑦=−1 9, 𝑧=0 है (III) यधद 𝑝 𝑞≠10 है, तब रैन्हखक समीकरर्ों क े धनकाय का (R) अनंत हल ( infinitely many solutions ) हैं (IV) यधद 𝑝 𝑞=10 है, तब रैन्हखक समीकरर्ों क े धनकाय का (S) कोई हल नहीं ( no solution ) है (T) कम से कम एक हल ( at least one solution ) है सही धवकल्प है :

1. (I)→(T); (II)→(R); (III)→(S); (IV)→(T)
2. (I)→(Q); (II)→(S); (III)→(S); (IV)→(R)
3. (I)→(Q); (II)→(R);(III)→(P); (IV)→(R)
4. (I)→(T); (II)→(S); (III)→(P); (IV)→(T)

दीघुवृत्त ( ellipse ) 𝑥2 4+𝑦2 3=1 पर धवर्ार कीधर्ए | माना धक 𝐻(𝛼,0),0<𝛼<2, एक धबंदच (point) है | धबंदच 𝐻 से होती हुई एवं 𝑦-अक्ष क े समांतर (parallel to the 𝑦-axis) एक सरल रेखा (straight line ) दीघुवृत्त एवं इसक े सह्वृत्त (auxiliary circle ) को प्रथम र्तचथाांश ( first quadrant ) में क्रमशः धबंदचओं 𝐸 एवं 𝐹 पर प्रधति े धदत (intersect ) करती है | धबंदच 𝐸 पर दीघुवृत्त की स्पशु रेखा (tangent ) िनात्मक 𝑥- अक्ष को एक धबंदच 𝐺 पर प्रधति े धदत करती है | मान लीधर् ए धक 𝐹 एवं मूलधबंदच (origin ) को र्ोड़ने वाली सरल रेखा , िनात्मक 𝑥-अक्ष क े साथ एक कोर् ( angle ) 𝜙 बनाती है | सूच -I सूच -II (I) यधद 𝜙=𝜋 4 है, तब धिभचर् 𝐹𝐺𝐻 का क्षेिफल (P) (√3−1)4 8 है (II) यधद 𝜙=𝜋 3 है, तब धिभचर् 𝐹𝐺𝐻 का क्षेिफल (Q) 1 है (III) यधद 𝜙=𝜋 6 है, तब धिभचर् 𝐹𝐺𝐻 का क्षेिफल (R) 3 4 है (IV) यधद 𝜙=𝜋 12 है, तब धिभचर् 𝐹𝐺𝐻 का क्षेिफल (S) 1 2√3 है (T) 3√3 2 है सही धवकल्प है :

1. (I)→(R); (II)→(S); (III)→(Q); (IV)→(P)
2. (I)→(R); (II)→(T); (III)→(S); (IV)→(P)
3. (I)→(Q); (II)→(T); (III)→(S); (IV)→(P)
4. (I)→(Q); (II)→(S); (III)→(Q); (IV)→(P)